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Nombres et calculs

1. Nombres relatifs

• Définition : nombres positifs ou négatifs, avec un signe (+ ou -).
• Représentation : sur une droite graduée.
• Comparaison : un nombre négatif est toujours plus petit qu’un nombre positif.
• Addition et soustraction :
  • Addition de deux nombres relatifs : même signe → addition des valeurs absolues, signe commun ; signes différents → soustraction des valeurs absolues, signe du plus grand en valeur absolue.
  • Soustraction : $a - b = a + (-b)$.
• Multiplication et division :
  • Même signe → résultat positif.

Calcul numérique

1. Calcul numérique

Le calcul numérique au brevet repose sur la maîtrise des opérations de base et des règles simples.

a) Opérations sur les fractions

• Addition et soustraction : mettre au même dénominateur avant d'additionner ou soustraire les numérateurs.
• Multiplication : multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
• Division : multiplier par l'inverse de la fraction divisée.

Pour simplifier un calcul avec des fractions, toujours réduire les fractions au maximum.

b) Priorités opératoires

Math - Résumé

Formule en fonction de α :

Triangle rectangle avec côtés nommés :

• Opposé (en rouge)
• Hypoténuse (en bleu)
• Adjacent (en violet)

A) 🔺 Formules trigonométriques

• sinus(α) =
  [ \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} ]

• cosinus =
  [ \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} ]

• tangente =
  [ \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} ]

Triangles mnémotechniques :

Sinus	Cosinus	Tangente

Calcul littéral

1. Définition

Le calcul littéral utilise des lettres (variables) pour représenter des nombres inconnus ou variables dans des expressions mathématiques.

2. Notions clés

• Expression littérale : combinaison de nombres, lettres et opérations (ex : $3x + 5$).
• Simplification : réduire une expression en regroupant les termes semblables (ex : $2x + 3x = 5x$).
• Développement : transformer un produit en somme (ex : $a(b + c) = ab + ac$).
• Factorisation : transformer une somme en produit (ex : $ab + ac = a(b + c)$).

3. Règles importantes

Expression littérale

1. Expression littérale

Une expression littérale est un calcul qui contient une ou plusieurs lettres. Ces lettres représentent des nombres inconnus ou variables.

Exemple :
Gustave achète un pain au chocolat à 1,1 € et 3 baguettes.
Le prix total est :
$$1,1 + 3 \times x$$
où $x$ est le prix d'une baguette.

2. Simplification d'écriture

• On peut supprimer le symbole de multiplication "×" entre un nombre et une lettre.
  Par exemple :
  $$3 \times x = 3x$$

• De même, entre deux lettres, on écrit simplement :
  $$a \times b = ab$$

Définition et notion de fonction

Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d’un ensemble de départ (appelé domaine) un unique élément d’un ensemble d’arrivée (appelé codomaine).
On note souvent une fonction $f$ par :
$$f : x \mapsto f(x)$$
où $x$ est un élément du domaine et $f(x)$ son image.

Une fonction associe exactement une image à chaque élément de son domaine.

Représentation d’une fonction

1. Représentation graphique

• Le graphe d’une fonction est l’ensemble des points $(x, f(x))$ dans un repère.

Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles. Il établit une relation entre les longueurs des côtés.

1. Énoncé du théorème

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors :

$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $$

2. Utilisation

• Permet de calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle si on connaît les deux autres.
• Utilisé pour vérifier qu'un triangle est rectangle.

Expérience aléatoire et issues

1. Expérience aléatoire

• Définition : Une expérience est dite aléatoire si :

  • Elle a des résultats possibles (issues) que l'on peut nommer.
  • On ignore à l'avance quel résultat va se produire.

• Exemple : Lancer une pièce de monnaie.

  • Issues possibles : « pile » ou « face ».
  • Résultat inconnu avant le lancer.

2. Probabilité d’une issue

• La probabilité d’une issue est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance que cette issue se produise.

Caractéristiques générales de la fonction du second degré

La fonction du second degré est une fonction polynomiale de la forme
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
avec $a \neq 0$.

1. Concavité de la parabole

• Si $a > 0$, la parabole est concave vers le haut (forme en U : $\cup$).
• Si $a < 0$, la parabole est concave vers le bas (forme en ∩).

2. Sommet de la parabole

• Le sommet est le point le plus bas (minimum) si $a > 0$, ou le plus haut (maximum) si $a < 0$.
• Coordonnées du sommet :
  $$S\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$