Chap. 1
Les nombres relatifs : définition et vocabulaire
Les nombres relatifs sont les nombres qui peuvent être positifs, négatifs ou nuls. Ils s'écrivent avec un signe (+ ou -) devant un nombre entier ou décimal.
- Un nombre positif est supérieur à zéro (exemple : +3, +7, +0,5).
- Un nombre négatif est inférieur à zéro (exemple : -4, -1, -2,3).
- Le nombre zéro (0) est neutre, ni positif ni négatif.
1. Vocabulaire important
| Terme | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Opposé | Deux nombres dont la somme est zéro | 5 et -5 |
| Valeur absolue | Distance d’un nombre à zéro sur la droite graduée, toujours positive | |
| Axe des nombres | Représentation des nombres relatifs sur une droite graduée |
À retenir : Un nombre relatif est soit positif, soit négatif, soit nul, et chaque nombre a un opposé.
Chap. 2
Comparaison et ordre des nombres relatifs
1. Règles de comparaison
- Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue.
- Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue (car il est moins négatif).
- Un nombre positif est toujours plus grand qu’un nombre négatif.
- Le zéro est plus grand que tous les nombres négatifs et plus petit que tous les nombres positifs.
2. Exemples
- +3 > +1
- -2 > -5 (car -2 est plus proche de zéro)
- +4 > -7
- 0 > -1
À retenir : Sur la droite graduée, plus on va vers la droite, plus les nombres sont grands.
Chap. 3
Addition et soustraction des nombres relatifs
1. Addition
- Additionner deux nombres relatifs revient à se déplacer sur la droite graduée.
- Si les deux nombres ont le même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on garde le signe commun.
- Si les deux nombres ont des signes différents, on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande et on garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue.
a) Exemples
| Calcul | Résultat | Explication |
|---|---|---|
| (+5) + (+3) | +8 | Même signe, on additionne 5 + 3 = 8 |
| (-7) + (-2) | -9 | Même signe, on additionne 7 + 2 = 9 |
| (+6) + (-4) | +2 | Signes différents, 6 - 4 = 2, signe + |
| (-5) + (+3) | -2 | Signes différents, 5 - 3 = 2, signe - |
2. Soustraction
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé :
- a − b = a + (−b)
a) Exemple
- 7 − 10 = 7 + (−10) = −3
- (−4) − (−6) = (−4) + 6 = 2
À retenir : Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé.
Chap. 4
Multiplication et division des nombres relatifs
1. Multiplication
- Le produit de deux nombres relatifs est positif si les deux nombres ont le même signe.
- Le produit est négatif si les deux nombres ont des signes différents.
- On multiplie les valeurs absolues.
| Signe des facteurs | Signe du produit |
|---|---|
| + × + | + |
| − × − | + |
| + × − | − |
| − × + | − |
a) Exemple
- (+3) × (+4) = +12
- (−5) × (−2) = +10
- (+6) × (−3) = −18
2. Division
Les règles sont les mêmes que pour la multiplication :
- Le quotient de deux nombres relatifs est positif si les deux nombres ont le même signe.
- Il est négatif si les signes sont différents.
- On divise les valeurs absolues.
À retenir : Le produit ou le quotient de deux nombres relatifs de même signe est positif, sinon il est négatif.
Chap. 5
Représentation graphique et utilisation
1. Droite graduée
- Chaque nombre relatif correspond à un point sur la droite graduée.
- Le zéro est au centre.
- Les nombres positifs sont à droite du zéro.
- Les nombres négatifs sont à gauche du zéro.
2. Utilisation des nombres relatifs
- Pour exprimer des températures (ex : −5°C).
- Pour indiquer des altitudes (ex : −200 m sous le niveau de la mer).
- Pour décrire des gains et des pertes (ex : +50 € ou −30 €).
- En physique, pour les forces, vitesses, etc.
Chap. 6
Résumé des propriétés clés
| Opération | Règle principale | Exemple |
|---|---|---|
| Addition | Même signe : additionner valeurs absolues, garder signe | (+3) + (+2) = +5 |
| Signes différents : soustraire valeurs absolues, garder signe du plus grand | (+5) + (−3) = +2 | |
| Soustraction | Soustraire un nombre = ajouter son opposé | 4 − 7 = 4 + (−7) = −3 |
| Multiplication | Même signe → produit positif, signes différents → négatif | (−2) × (−3) = +6 |
| Division | Même signe → quotient positif, signes différents → négatif | (+6) ÷ (−2) = −3 |
À retenir : Maîtriser les signes est essentiel pour calculer avec les nombres relatifs.