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Chapitre 6 : Statistiques

I) Moyenne

Rappels

• L'effectif total est la somme de tous les effectifs.
• L'effectif d'une donnée correspond au nombre de fois où cette donnée apparaît.

Définition

La moyenne d'une série de données est égale au quotient de la somme de ces données par l'effectif total.
C'est un critère de position.

[ \text{Moyenne} = \frac{\text{somme des données}}{\text{effectif total}} ]

Remarques

• La moyenne n'est pas forcément égale à une valeur de la série.
• La moyenne est comprise entre la plus grande valeur de la série.

Exemple

Introduction

La statistique est la science qui a pour objet la collecte, l'analyse et l'interprétation des ensembles d'observations relatives à un même phénomène et susceptibles d'être caractérisées par des nombres. Une étude statistique se déroule donc en trois phases :

• la collecte des informations : elle consiste à définir la population, choisir le caractère étudié et vérifier la représentativité de l'échantillon choisi.

Introduction aux statistiques

Les statistiques sont des outils mathématiques qui permettent de collecter, organiser, analyser et interpréter des données. Elles servent à décrire un ensemble d'informations et à en tirer des conclusions.

• Population : ensemble complet des individus ou objets étudiés.
• Échantillon : sous-ensemble représentatif de la population.
• Variable : caractéristique mesurée (ex : taille, âge, note).

Organisation des données

1. Types de données

| Type de données | Description | Exemple |

Moyenne

1. Moyenne

La moyenne d'une série statistique est la valeur que chaque individu aurait si la quantité totale était répartie de façon équitable. Elle se calcule en divisant la somme de toutes les valeurs par l'effectif total.

Formule :

$$ \text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des valeurs}}{\text{Effectif total}} $$

Exemple :

Pour une équipe ayant marqué respectivement 0, 6, 2, 4 et 3 buts sur 5 matchs, la moyenne est :

$$ \frac{0 + 6 + 2 + 4 + 3}{5} = 3 $$

L'équipe a donc marqué en moyenne 3 buts par match.

2. Moyenne pondérée

Estimation d'une moyenne

1. Estimation ponctuelle d'une moyenne

• Estimation ponctuelle : la moyenne empirique $\bar{X}$ est l'estimateur naturel de la moyenne inconnue $\mu$.
• Exemple : Pour un échantillon de taille $n=100$, $\bar{X} = 8,76$ minutes.

2. Intervalle de confiance pour la moyenne (variance inconnue)

• Si la variance est inconnue et $n$ est grand, on utilise l'approximation normale.
• Marge d'erreur (ME) au niveau de confiance $(1-\alpha)$ :
  $$ \text{ME} = z_c \frac{s}{\sqrt{n}} $$

Définition et représentation graphique d'une série statistique à deux variables

1. Série statistique à deux variables

• Définition : Une série statistique à deux variables est un ensemble de couples $(x_i ; y_i)$ où $x_i$ et $y_i$ sont des variables quantitatives mesurées simultanément.

2. Représentation graphique

• Le nuage de points est la représentation graphique d'une série statistique à deux variables.
• Chaque point du nuage a pour coordonnées $(x_i ; y_i)$.
• Ce nuage permet de visualiser la relation entre les deux variables.

Introduction aux tests de comparaison de moyenne

Les tests de comparaison de moyenne sont essentiels pour comparer deux groupes sur leur moyenne. Ils s'appliquent dans trois situations principales :

• Comparaison d’une moyenne à une norme.
• Comparaison de moyennes issues d’échantillons appariés.
• Comparaison de moyennes entre deux échantillons distincts.

1. Étapes d’un test de comparaison de moyenne

1. Poser les hypothèses statistiques : définir l'hypothèse nulle ($H_0$) et l'hypothèse alternative ($H_1$).

Statistiques inférentielles

1. Statistiques inférentielles

L'aléatoire intervient en statistiques inférentielles car il est impossible de mesurer tous les individus d'une population, et parce qu'il existe une variabilité entre individus sur les variables étudiées.

2. Population / Échantillon

• Population : ensemble plus grand dont sont extraits les individus étudiés (appelés individus statistiques). Ce n’est pas forcément une population démographique, mais un ensemble défini par la question de recherche.

Statistique descriptive

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique d’une série statistique, notée $\bar{x}$, est le quotient de la somme des produits des modalités $x_i$ et de leur effectif $n_i$, par l’effectif total $N$ :

$$ \bar{x}=\frac{x_1\cdot n_1+x_2\cdot n_2+\cdots+x_t\cdot n_t}{N} =\frac{\sum_{i=1}^{t}x_i\cdot n_i}{N} $$

où $t$ correspond au nombre de modalités différentes de la série statistique.

Lorsque les données sont groupées par classes, on peut ajouter une colonne donnant la valeur des centres des classes dans le tableau recensé.