Statistiques et Probabilités

1. Vocabulaire et définitions statistiques

• Effectif : nombre de fois qu'une valeur apparaît dans une série de données.

• Effectif total $N$ : somme de tous les effectifs, c’est-à-dire le nombre total de données.

• Fréquence d'une valeur :

$$\text{fréquence} = \frac{\text{effectif de la valeur}}{N}$$

Elle peut s'exprimer en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage.

• Moyenne :

$$\bar{x} = \frac{\text{somme de toutes les valeurs}}{N}$$

C’est la valeur moyenne des données.

• Étendue :

$$\text{étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$$

Elle mesure la dispersion des données.

• Médiane : valeur qui partage une série ordonnée en deux parties de même effectif.
  • Si $N$ est impair, la médiane est la valeur centrale.
  • Si $N$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.

La médiane sépare la série en deux groupes contenant chacun la moitié des données.

1. Calcul des indicateurs statistiques

a) Étendue

• Définition : Différence entre la plus grande et la plus petite valeur d'une série.
• Formule :
  $\text{Étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$
• Unité : Même unité que les données.

b) Moyenne

• Définition : Somme des valeurs divisée par le nombre total de valeurs.
• Formule :
  $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$
• Unité : Même unité que les données.

c) Médiane

• Définition : Valeur qui partage la série en deux parties égales : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié sont supérieures ou égales.
• Calcul :
  • Si $n$ est impair : médiane = valeur en position $\frac{n+1}{2}$ (après tri croissant).
  • Si $n$ est pair : médiane = moyenne des valeurs en positions $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2}+1$.
• Unité : Même unité que les données.

2. Exemple d’application

Série A : 3, 19, 7, 20, 12, 10, 8, 12, 18, 5, 7, 12, 4, 15, 14, 11
Effectif total : $n=16$ (pair)

La médiane divise la série en deux groupes de 8 valeurs chacune.

1. Séries statistiques en tableau

Une série statistique peut être représentée sous forme de tableau regroupant les valeurs distinctes, leurs effectifs et leurs fréquences.

• Effectif : nombre de fois qu'une valeur apparaît dans la série.
• Fréquence : proportion de cette valeur dans la série, calculée par $f_i = \frac{n_i}{N}$, souvent exprimée en pourcentage.

2. Exemple de série en tableau

• La série comporte 19 données réparties en 5 valeurs distinctes.
• La fréquence de la valeur 12 est $\frac{6}{19} \approx 31,5\%$.

3. Interprétation des fréquences et effectifs

• La fréquence indique la part relative d'une valeur dans la série.
• Par exemple, une fréquence de 6,25% signifie que la valeur correspondante apparaît dans environ 6,25% des données.
• L'effectif total $N$ est la somme des effectifs des différentes valeurs.

À retenir : La fréquence d'une valeur dans une série statistique est égale à son effectif divisé par le total des données, et la somme des fréquences vaut toujours 1 (ou 100%).

1. Étendue, moyenne et médiane

• Étendue : différence entre la plus grande et la plus petite valeur d’une série.
  $\text{Étendue} = \text{valeur max} - \text{valeur min}$

• Moyenne : somme des valeurs multipliées par leurs effectifs, divisée par l’effectif total.
  $\text{Moyenne} = \frac{\sum (\text{valeur} \times \text{effectif})}{\text{effectif total}}$

• Médiane : valeur qui partage la série en deux parties égales.

  • Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur de rang $\frac{n+1}{2}$.
  • Si l’effectif total est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rang $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2}+1$.

  

  La médiane garantit qu’au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à elle, et au moins la moitié sont supérieures ou égales.

2. Fréquence et pourcentage

• Fréquence d’une valeur : proportion de cette valeur dans la série, comprise entre 0 et 1.
  $\text{Fréquence} = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$

• Fréquence en pourcentage : fréquence multipliée par 100 pour faciliter la lecture et la comparaison.
  $\text{Fréquence en \%} = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}} \times 100$