Logarithmes

1. Définition du logarithme népérien

• La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie sur $\mathbb{R}_+^* = ]0; +\infty[$.
• Pour tout $x > 0$, $\ln(x)$ est la fonction réciproque de l'exponentielle : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln(x)} = x$.

2. Propriétés algébriques du logarithme

Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ :

3. Dérivabilité et dérivée de $\ln$

• La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0; +\infty[$.

• Sa dérivée est donnée par :

  $$\forall x > 0, \quad \ln'(x) = \frac{1}{x}$$

• La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$ car $\ln'(x) = \frac{1}{x} > 0$.

4. Convexité

• La fonction $\ln$ est concave sur $]0; +\infty[$.

La fonction logarithme népérien est dérivable sur $]0; +\infty[$ avec $\ln'(x) = \frac{1}{x}$. Elle est strictement croissante et concave sur cet intervalle.

1. Propriétés algébriques fondamentales du logarithme

Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, et tout réel $x$, on a :

2. Remarques importantes

• Le logarithme n'est défini que pour des arguments strictement positifs.
• Ces propriétés permettent de transformer des produits, quotients et puissances en sommes, différences et produits, ce qui facilite le calcul et la résolution d'équations.

À retenir : Le logarithme transforme la multiplication en addition, la division en soustraction, et l'exponentiation en multiplication.

1. Cas particuliers du logarithme

• Logarithme népérien d'une puissance :
  Pour $a > 0$ et $n \in \mathbb{N}$,
  $\ln(a^n) = n \ln(a)$

• Logarithme d'un produit :
  Pour $a, b > 0$,
  $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$

• Logarithme d'un quotient :
  Pour $a, b > 0$,
  $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$

• Logarithme de 1 :
  $\ln(1) = 0$

• Logarithme de l'exponentielle :
  Pour tout réel $x$,
  $\ln(e^x) = x$

2. Applications du logarithme

a) Résolution d'équations exponentielles

• Pour résoudre une équation de la forme
  $a^x = b$
  avec $a > 0$, $a \neq 1$ et $b > 0$, on utilise :
  $x = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$

b) Étude de fonctions

• La fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle :
  $y = \ln(x) \iff x = e^y$

• Elle est définie pour $x > 0$, strictement croissante et dérivable avec :
  $\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$

c) Simplification d'expressions

• Le logarithme permet de transformer des produits en sommes, des puissances en produits, facilitant ainsi le calcul et la résolution d'équations.

À retenir : Le logarithme transforme la multiplication en addition et la puissance en multiplication, ce qui est essentiel pour résoudre des équations exponentielles et simplifier des expressions.