Théorie des mécanismes

1. Objectifs de l'étude des mécanismes

• Définir les relations cinématiques entre paramètres d'entrée et de sortie d'une chaîne de solides.
• Établir les relations d'efforts entre entrée et sortie.
• Calculer les efforts de liaison pour dimensionner les composants.

Cette analyse permet d’évaluer la pertinence des solutions mécaniques, notamment pour assurer une mise en position précise, éviter l’usure prématurée, le coincement ou un montage difficile.

2. Hypothèses de l'étude

Les résultats sont valables sous les conditions suivantes :

3. Définitions clés

a) Degré de mobilité $m$ d’un mécanisme

Nombre total de mouvements indépendants possibles entre les pièces.

• Mobilité utile $m_u$ : mouvements indépendants impliquant au moins un paramètre cinématique d’entrée ou de sortie. Correspond généralement au nombre d’actionneurs.
• Mobilité interne $m_i$ : mouvements indépendants n’impliquant aucun paramètre d’entrée-sortie, affectant un nombre restreint de pièces.

Formule :

$$m = m_u + m_i$$

b) Degré d’hyperstatisme $h$

Nombre $h \geq 0$ d’inconnues d’actions de liaison surabondantes dans une chaîne fermée de solides. Il caractérise la redondance des contacts qui supprime plusieurs fois une même inconnue d’effort.

À retenir : Le degré d’hyperstatisme mesure la surabondance des liaisons qui peut compliquer la résolution des efforts dans un mécanisme.

1. Mobilité et hyperstatisme

• Mobilité d'une liaison : nombre de degrés de liberté (ddl) que la liaison laisse entre deux solides.
• Lorsqu'on ferme une chaîne de solides sur une liaison à $n$ ddl, la dernière pièce possède $(6 - n)$ ddl complémentaires apportés par les autres liaisons.

a) Isostatisme et hyperstatisme

• Pour réduire l'hyperstatisme, on peut :
  • Augmenter la mobilité de certaines liaisons (rajouter des ddl).
  • Ajouter des solides intermédiaires (complexifie le mécanisme).
  • Utiliser des systèmes de réglage ou augmenter les jeux dans les liaisons.

b) Exemple

• Guidage en translation par deux colonnes cylindriques : hyperstatique avec $h=3$.

2. Étude statique d'un mécanisme

• Soit un mécanisme avec $p$ solides (bâti inclus) et $L$ liaisons.
• Application du PFS à chaque solide sauf le bâti donne :

$$E_s = 6 \times (p - 1)$$

équations scalaires.

• Chaque liaison a un torseur statique avec $n_s$ inconnues (exemples : liaison ponctuelle $n_s=1$, glissière hélicoïdale $n_s=5$).
• Nombre total d'inconnues statiques :

$$I_s = \sum_{i=1}^{k} n_{si}$$

• On obtient un système linéaire de $E_s$ équations avec $I_s$ inconnues et rang $r_s$ (nombre d'équations indépendantes).

À retenir : Un mécanisme est isostatique si toutes les inconnues des actions de liaison sont déterminables par le PFS ($h=0$), sinon il est hyperstatique ($h>0$), ce qui complique le montage et nécessite des ajustements.

1. Degré d'hyperstatisme et isostatisme

• Degré d'hyperstatisme $h$ d'une chaîne complexe :

  $$h = I_s - r_s$$

  où

  • $I_s$ = nombre d'inconnues statiques (actions de liaison)
  • $r_s$ = rang du système d'équations statiques

• Cas particuliers :

  • $h=0$ : système isostatique, toutes les inconnues de liaison sont déterminables.
  • $h>0$ : système hyperstatique, certaines inconnues de liaison sont indéterminées ; $h$ est le nombre d'inconnues statiques indépendantes à fixer.

• Le nombre d'équations du système ne faisant pas intervenir une inconnue de liaison est égal au degré de mobilité $m$ du mécanisme.

2. Degré de mobilité du mécanisme

• Le degré de mobilité $m$ est donné par :

  $$m = E_s - r_s = 6(p - 1) - r_s$$

  où

  • $p$ = nombre de solides (bâti inclus)
  • $E_s$ = nombre total d'équations statiques (6 par solide sauf bâti)
  • $r_s$ = rang du système statique

• $m$ se décompose en :

  • $m_i$ : mobilités internes (équations triviales $0=0$)
  • $m_u$ : mobilités utiles reliant actions d'entrée et de sortie

3. Nombre de cycles (boucles) indépendants

• Pour un mécanisme avec $p$ solides et $L$ liaisons, le nombre cyclomatique $\gamma$ est : $$\gamma = L - p + 1$$
• $\gamma$ correspond au nombre de cycles indépendants dans le mécanisme.

4. Équations cinématiques

• Chaque liaison élémentaire possède un torseur cinématique avec $n_c$ inconnues cinématiques indépendantes, par exemple :

  Liaison	$n_c$ (inconnues cinématiques)
  Liaison ponctuelle	5
  Liaison glissière hélicoïdale	1

• Pour chaque cycle indépendant, la fermeture cinématique s'écrit :

  $$\sum_i \{V_i\} = \{0\}$$

  ce qui donne 6 équations par cycle.

• Le nombre total d'équations cinématiques est :

  $$E_c = 6 \times \gamma$$

• Le nombre total d'inconnues cinématiques est :

  $$I_c = \sum_{i=1}^L n_{c_i}$$

• Le système linéaire cinématique possède un rang $r_c$.

À retenir :
Le degré d'hyperstatisme $h$ mesure le nombre d'inconnues statiques indéterminées, tandis que le degré de mobilité $m$ correspond au nombre d'équations cinématiques indépendantes permettant le mouvement du mécanisme.

1. Degré de mobilité et hyperstatisme

• Degré de mobilité $m$ : nombre d'inconnues cinématiques indépendantes à fixer pour déterminer tous les mouvements du mécanisme.

  $$m = I_c - r_c$$

  où :

  • $I_c$ = nombre total d'inconnues cinématiques,
  • $r_c$ = nombre d'équations indépendantes liant ces inconnues.

• Interprétation :

  • $m=0$ : mécanisme rigide (immobile),
  • $m>0$ : mécanisme mobile de degré $m$.

• Degré d'hyperstatisme $h$ : nombre d'équations redondantes (combinaisons linéaires d'autres équations), lié aux redondances de contacts dans les liaisons.

  $$h = E_c - r_c = 6\gamma - r_c$$

  où $E_c$ est le nombre total d'équations cinématiques, $\gamma$ le nombre de liaisons.

2. Formules de mobilité

• Pour chaque liaison $E_i$ (i = 1 à $L$), on a :

  $$n_{ci} + n_{si} = 6$$

• Total des inconnues cinématiques et statiques :

  $$I_s + I_c = 6L$$

• Tableau récapitulatif des expressions de mobilité $m$ et hyperstatisme $h$ :

• Notations :

  • $I_c$ : inconnues cinématiques,
  • $n_c$ : nombre d'équations cinématiques indépendantes,
  • $E_c$ : nombre total d'équations cinématiques ($=6\gamma$),
  • $I_s$ : inconnues statiques,
  • $n_s$ : nombre d'équations statiques indépendantes,
  • $E_s$ : nombre total d'équations statiques ($=6(p-1)$),
  • $p$ : nombre de pièces,
  • $\gamma$ : nombre de liaisons,
  • $k$ : degré d'hyperstatisme.

• Remarque : ces formules permettent d'éviter le calcul direct du rang des systèmes d'équations pour déterminer $h$.

3. Cas des mécanismes plans

• Dans les mécanismes plans, seules 3 composantes des torseurs sont considérées (au lieu de 6 en général), ce qui modifie les calculs de mobilité et d'hyperstatisme en conséquence.

1. Formules générales de mobilité

• Formule cinématique :

$$h = m + 3 \gamma - I_c$$

• Formule statique :

$$h = m - 3(p - 1) + I_s$$

2. Nombre d’équations

• Nombre d’équations statiques :

$$E_s = 3 (p - 1)$$

• Nombre d’équations cinématiques :

$$E_c = 3 \gamma$$

3. Application : guidage en translation de l’élévateur de rack

Données :

Calcul du degré de mobilité :

$$R = 6 \gamma + m - I_c = 6 \times 2 + 1 - 6 = 7$$

Vérification statique :

$$R = I_s + m - 6(p - 1) = 18 + 1 - 12 = 7$$

4. Liaison équivalente

Une liaison équivalente est une liaison théorique qui remplace un ensemble de liaisons entre deux solides, en conservant le même comportement mécanique (transmission des actions et mouvements relatifs).

5. Liaisons en parallèle

• Cinématique : Le mouvement relatif autorisé est identique pour toutes les liaisons en parallèle.

$$\{V_{1/0}^{Leq}\} = \{V_{1/0}^{L_1}\} = \{V_{1/0}^{L_2}\} = \cdots$$

• Statique : La résultante des torseurs des actions mécaniques des liaisons élémentaires est égale au torseur de la liaison équivalente.

$$\{C_{0-1}^{Leq}\} = \{C_{0-1}^{L_1}\} + \{C_{0-1}^{L_2}\} + \cdots$$

6. Liaisons en série

• Cinématique : Le mouvement relatif entre deux solides reliés en série est la composition des mouvements relatifs successifs.

$$\{V_{n/0}^{Leq}\} = \{V_{n/n-1}\} + \{V_{n-1/n-2}\} + \cdots + \{V_{1/0}\}$$

• Statique : La liaison équivalente transmet les actions mécaniques résultantes des liaisons en série.

À retenir :
Les formules de mobilité relient le nombre de liaisons, de solides, de cycles et d’équations indépendantes pour déterminer les degrés de liberté d’un mécanisme. La liaison équivalente simplifie l’analyse en remplaçant plusieurs liaisons par une seule avec le même comportement mécanique.

1. Liaison équivalente

a) Principe de la liaison équivalente

• Hypothèse forte : Seul le solide $S_n$ subit une action mécanique extérieure autre que les actions de liaison.
• En appliquant le Principe Fondamental de la Statique (PFS) successivement aux solides et ensembles croissants, on obtient une chaîne d'égalités entre les torseurs des actions mécaniques de liaison.
• La liaison équivalente regroupe toutes les liaisons intermédiaires en une seule liaison entre $S_0$ et $S_n$.

b) Résultats clés

• Pour le solide $S_n$ seul : $$\{\mathcal{C}_{m/n-1}^{L_n}\} + \{\mathcal{C}_{ext/S_n}\} = \{0\}$$
• Pour l'ensemble $\{S_n; S_{n-1}\}$ : $$\{\mathcal{C}_{m-2/m-1}^{L_{n-1}}\} + \{\mathcal{C}_{ext/S_n}\} = \{0\}$$
• Pour l'ensemble complet $\{S_n; S_{n-1}; \ldots; S_1\}$ : $$\{\mathcal{C}_{0/1}^{L_1}\} + \{\mathcal{C}_{ext/S_n}\} = \{0\}$$
• On en déduit que tous ces torseurs sont égaux à $-\{\mathcal{C}_{ext/S_n}\}$, d'où la liaison équivalente : $$\{C_{0/n}^{Leq}\} + \{ext/S_n\} = \{0\}$$

c) Interprétation

• La liaison équivalente est une liaison unique qui remplace l'ensemble des liaisons intermédiaires entre $S_0$ et $S_n$.
• Elle permet de simplifier l'étude statique en considérant une seule liaison avec un torseur d'action mécanique équivalent.

2. Exemples d’application

À retenir : La liaison équivalente regroupe toutes les liaisons intermédiaires en une seule liaison dont le torseur d’action mécanique est égal à la somme des torseurs des liaisons initiales, simplifiant ainsi l’analyse statique du mécanisme.