Fractions

Une fraction est un nombre qui exprime une partie d’un tout. Elle est écrite sous la forme a/b, où :

• a est le numérateur (le nombre de parts considérées),
• b est le dénominateur (le nombre total de parts égales).

Le dénominateur est toujours un entier strictement positif.

Une fraction représente la division du numérateur par le dénominateur.

• Sur une droite graduée, une fraction correspond à un point situé à la division du segment unité en parts égales.
• Une fraction peut être représentée par un diagramme (partage d’un objet en parts égales).

• Une fraction est simplifiée lorsque le numérateur et le dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que 1.
• Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

Deux fractions a/b et c/d sont égales si et seulement si :
a × d = b × c

Pour comparer deux fractions, on peut :

1. Les mettre au même dénominateur (trouver un dénominateur commun).
2. Comparer les numérateurs.
3. Ou utiliser la règle du produit en croix :
   • Si a × d > b × c, alors a/b > c/d
   • Sinon, a/b < c/d

• Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

  $$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

• On peut simplifier avant de multiplier pour faciliter le calcul.

• Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

  $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$

• L’inverse d’une fraction c/d est d/c.

• Une fraction décimale (dénominateur 10, 100, 1000…) se convertit facilement en nombre décimal.
• Pour convertir une fraction en nombre décimal, on effectue la division du numérateur par le dénominateur.
• Pour convertir un nombre décimal en fraction, on écrit le nombre sans la virgule sur le numérateur et la puissance de 10 correspondante au dénominateur, puis on simplifie.

• Un nombre entier n peut s’écrire comme une fraction avec dénominateur 1 :

  $$n = \frac{n}{1}$$

• Une fraction impropre peut s’écrire sous forme de nombre mixte (nombre entier + fraction propre).

Une fraction est un moyen simple et efficace de représenter une partie d’un tout, et maîtriser les opérations sur les fractions est essentiel pour progresser en mathématiques.