Mécanique du Bâtiment

1. Types d'appuis en génie civil

2. Notion de moment

• Moment : rotation créée par une force $F$ appliquée perpendiculairement à un bras de levier de longueur $L$.
• Formule du moment : $$M = F \times L$$
• Le moment tend à faire tourner la structure autour d'un point ou d'un axe.

Le moment est la mesure de la tendance d'une force à faire tourner un objet autour d'un point.

1. Notion de moment

• Moment d'une force : mesure l'effet de rotation d'une force par rapport à un point ou un axe.
• Formule du moment :
  $M = - F \times L$
  où $F$ est la force appliquée et $L$ la distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force et le point de rotation.
• Le signe négatif indique le sens de rotation (conventionnellement).

2. Principe Fondamental de la Statique (PFS)

• Équilibre d'un solide soumis à des forces extérieures :
  • La somme des forces extérieures est nulle :
    $\sum \vec{F}_{ext} = 0$
  • La somme des moments par rapport à un point $A$ est nulle :
    $\sum M_A = 0$

3. Application aux appuis

• Chaque type d'appui impose des inconnues de liaison (réactions) différentes.
• Pour déterminer ces inconnues, il faut :
  1. Identifier le type d'appui (appui simple, encastrement, glissière, etc.).
  2. Compter le nombre d'inconnues associées à chaque appui selon sa modélisation.

À retenir : Le moment est la force multipliée par la distance perpendiculaire, et l'équilibre statique impose que la somme des forces et des moments soit nulle.

1. Principe fondamental de la statique (PFS)

Le principe fondamental de la statique établit que pour un système matériel en équilibre, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées est nulle, ainsi que la somme des moments de ces forces par rapport à un point quelconque.

a) Conditions d'équilibre d'un solide

• Somme des forces :
  $\sum \vec{F} = \vec{0}$

• Somme des moments (par rapport à un point O) :
  $\sum \vec{M}_O = \vec{0}$

Ces deux conditions assurent que le solide est en équilibre statique.

2. Degré d'hyperstaticité et d'isostaticité

• Isostatique :
  Le système est juste contraint, c’est-à-dire que le nombre d’inconnues d’appui ($n_{inc}$) est égal au nombre d’équations d’équilibre disponibles.
  Pour un système plan, on dispose de 3 équations d’équilibre (2 pour les forces, 1 pour les moments).

• Hyperstatique :
  Le système est surcontraint, c’est-à-dire que le nombre d’inconnues d’appui est supérieur au nombre d’équations d’équilibre.
  Le degré d’hyperstaticité est donné par :
  $\text{Degré d'hyperstaticité} = n_{inc} - 3$

3. Exemples de structures et leur degré de staticité

À retenir : Un système est en équilibre statique si la somme des forces et des moments est nulle. La staticité d’une structure dépend du nombre d’inconnues par rapport aux équations d’équilibre disponibles.

1. Types de liaisons sur appuis courants

2. Application des appuis

• Appui simple : bloque la translation verticale, laisse la rotation libre.
• Articulation : bloque la translation dans toutes les directions, permet la rotation.
• Encastrement : bloque translation et rotation.

3. Détermination des inconnues

• Le nombre d'inconnues correspond aux réactions d'appui (forces et moments) à déterminer.
• Chaque type de liaison impose un certain nombre de conditions d'équilibre :
  • Appui simple : 1 inconnue (réaction verticale)
  • Articulation : 2 inconnues (réactions horizontale et verticale)
  • Encastrement : 3 inconnues (réactions horizontale, verticale, moment)

À retenir : Le choix du type de liaison détermine le nombre et la nature des réactions d’appui à calculer pour assurer l’équilibre de la structure.

1. Types de liaisons dans les structures

2. Définitions clés

• Encastrement : liaison rigide empêchant toute rotation et déplacement relatif entre éléments.
• Appui simple : liaison permettant rotation mais empêchant déplacement vertical.
• Articulation : liaison permettant rotation sans transmission de moment fléchissant.

Le degré de staticité d'une structure dépend des types de liaisons entre ses éléments, influençant la répartition des efforts et la méthode de calcul.

1. Types de liaisons dans les structures réelles

a) Articulation

• Permet la rotation entre deux éléments sans transmission de moment fléchissant.
• Utilisée pour limiter les efforts transmis et permettre des mouvements relatifs.

b) Liaison poutre-poutre

• Assure la jonction entre deux poutres, souvent une poutre secondaire reposant sur une poutre primaire.
• Peut être réalisée par différentes méthodes (ex : équerre de fixation).

c) Équerre de fixation

• Dispositif rigide fixé sur la poutre primaire pour supporter la poutre secondaire.
• Permet un appui simple ou glissant selon la conception.

d) Liaison par goujon : joint de dilatation

• Utilisée pour permettre la dilatation thermique ou les mouvements relatifs entre éléments.
• Le goujon assure la liaison mécanique tout en laissant un jeu pour le déplacement.

e) Appui simple et appui glissant

• Appui simple : transmet uniquement l’effort normal (vertical) sans moment ni effort tranchant.
• Appui glissant : permet un déplacement horizontal tout en supportant la charge verticale.

f) Exemple de liaison poutre primaire / poutre secondaire

• Liaison A : encastrement (empêche tout déplacement et rotation)
• Liaison B : encastrement (idem, rigidité maximale)

À retenir : Les liaisons déterminent la transmission des efforts et les degrés de liberté entre éléments, influençant la stabilité et le comportement de la structure.