Statistiques à Deux Variables

1. Représenter un nuage de points

• Nuage de points : représentation graphique d’une série statistique à deux variables quantitatives $(x_i, y_i)$, où chaque point correspond à une paire de valeurs.
• Pour représenter un nuage de points :
  • Choisir un repère orthogonal.
  • Placer sur l’axe des abscisses la variable indépendante (ex : rang des années).
  • Placer sur l’axe des ordonnées la variable dépendante (ex : quantité de CO₂).
• Le nuage de points permet de visualiser la relation entre les deux variables.

2. Ajustement affine

• Ajustement affine : recherche d’une droite $y = ax + b$ qui "s’ajuste" au mieux au nuage de points.

• Cette droite modélise la tendance linéaire entre les variables.

• L’équation de la droite d’ajustement affine est donnée par :

  $$y = ax + b$$

  où :

  • $a$ est le coefficient directeur (pente),
  • $b$ est l’ordonnée à l’origine.

3. Détermination de la droite d’ajustement affine

• On utilise des outils numériques (calculatrices, logiciels) pour calculer $a$ et $b$.

• Le calcul repose sur la méthode des moindres carrés, qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite.

• Le tableau des données doit être complété avec un rang pour la variable indépendante (ex : $x_i = 1, 2, ..., n$).

  Exemple :

  Année	2006	2007	2008	...	2014
  Rang $x_i$	1	2	3	...	9
  Quantité $y_i$	30,69	31,31	32,08	...	35,95

4. Interpolation et extrapolation

• Interpolation : estimer une valeur $y$ pour un $x$ compris dans l’intervalle des données (ex : année 2012).
• Extrapolation : estimer une valeur $y$ pour un $x$ en dehors de l’intervalle des données (ex : année 2050).
• L’ajustement affine permet d’estimer ces valeurs inconnues en remplaçant $x$ dans l’équation de la droite.

5. Évaluer la pertinence de l’ajustement affine

• La qualité de l’ajustement se juge par la dispersion des points autour de la droite.
• Plus les points sont proches de la droite, plus l’ajustement est pertinent.
• On peut utiliser des indicateurs statistiques (ex : coefficient de corrélation) pour quantifier cette pertinence.

À retenir :
La droite d’ajustement affine $y = ax + b$ modélise la tendance linéaire d’un nuage de points et permet d’estimer des valeurs inconnues par interpolation ou extrapolation.

1. Utiliser les outils numériques pour la régression linéaire

• Nuage de points : représentation graphique des données avec abscisses $x$ (rang de l’année) et ordonnées $y$ (quantité de CO₂ en Gt).

• Lorsque les points du nuage semblent alignés, on peut modéliser la relation par une droite de régression linéaire.

a) Méthode des moindres carrés

• Cherche la droite $y = ax + b$ qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite.
• Cette droite est la meilleure approximation linéaire des données.

b) Utilisation d’un tableur ou logiciel

1. Tracer un nuage de points avec les données (abscisse : rang, ordonnée : quantité de CO₂).
2. Ajouter une courbe de tendance linéaire (droite de régression).
3. Afficher l’équation de la droite sur le graphique, par exemple :
   $y = 0{,}7133x + 29{,}9244$
4. Calculer le rang correspondant à une année donnée (exemple : 2050) par
   $x = \text{année} - \text{année de départ} = 2050 - 2005 = 45$
5. Estimer la valeur de $y$ (quantité de CO₂) en remplaçant $x$ dans l’équation :
   $y = 0{,}7133 \times 45 + 29{,}9244 = 62{,}02$

c) Interprétation

• Si la tendance linéaire se maintient, la quantité de CO₂ en 2050 sera estimée à 62,02 Gt.

La droite de régression linéaire obtenue par la méthode des moindres carrés permet d’estimer une valeur inconnue en prolongeant la tendance observée.