Statistiques descriptives

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique d’une série statistique, notée $\bar{x}$, est le quotient de la somme des produits des modalités $x_i$ et de leur effectif $n_i$, par l’effectif total $N$ :

$$\bar{x}=\frac{x_1\cdot n_1+x_2\cdot n_2+\cdots+x_t\cdot n_t}{N} =\frac{\sum_{i=1}^{t}x_i\cdot n_i}{N}$$

où $t$ correspond au nombre de modalités différentes de la série statistique.

Lorsque les données sont groupées par classes, on peut ajouter une colonne donnant la valeur des centres des classes dans le tableau recensé.

Dans le cas continu, les modalités étant représentées par des classes, on choisit le centre de chaque classe, noté $x_i$, pour représenter chaque modalité et calculer la moyenne.

Mode et classe modale

Le mode d’une série statistique est la modalité ayant l’effectif le plus élevé dans une distribution de données à caractère quantitatif discret ou à caractère qualitatif.

La classe modale d’une série statistique est l’intervalle de valeurs ayant l’effectif le plus élevé dans une distribution de données à caractère quantitatif continu.

Remarques

• Il est possible qu’une série statistique ait plusieurs modes. Cela se produit lorsque plusieurs modalités ont le même effectif et qu’il s’agit de l’effectif le plus élevé.
• Le mode ou la classe modale d’une série statistique correspond aussi à la modalité ou à la classe ayant la fréquence la plus élevée.
• La classe modale n’a de sens que si la taille des intervalles est identique.

Exemple : caractère quantitatif discret

On s’intéresse aux prix (en €) des différents modèles de sacs à dos présents sur le site Internet d’une marque française.

La moyenne arithmétique vaut :

$$\bar{x} =\frac{49\cdot6+79\cdot45+89\cdot35+99\cdot24+109\cdot11+129\cdot25}{146} =\frac{13\,764}{146} \approx 94{,}27$$

Interprétation : en moyenne, le prix d’un sac à dos sur ce site est de 94,27 €.

Le mode est 79.

Interprétation : le plus fréquemment, le prix d’un sac à dos sur ce site est de 79 €.

Exemple : caractère quantitatif continu

On s’intéresse à la taille des terrains (en m²) de chaque parcelle d’un lotissement.

La moyenne arithmétique vaut :

$$\bar{x} =\frac{400\cdot9+600\cdot10+800\cdot61+1\,000\cdot21+1\,200\cdot7+1\,400\cdot7}{115} =\frac{97\,600}{115} \approx 848{,}7$$

Interprétation : en moyenne, les terrains de ce lotissement mesurent 848,7 m².

La classe modale est [700 ; 900[.

Interprétation : le plus fréquemment, les terrains de ce lotissement mesurent entre 700 et 900 m².

Médiane et quartiles

La médiane d’une série statistique, notée $Me$, est la modalité qui partage cette série statistique préalablement classée par ordre croissant en deux groupes de même effectif.

Le premier quartile d’une série statistique, noté $Q_1$, est la modalité qui partage cette série statistique préalablement classée par ordre croissant en deux groupes : un premier qui contient le premier quart des effectifs et un deuxième qui contient les trois autres quarts des effectifs.

Le troisième quartile d’une série statistique, noté $Q_3$, est la modalité qui partage cette série statistique préalablement classée par ordre croissant en deux groupes : un premier qui contient les trois premiers quarts des effectifs et un deuxième qui contient l’autre quart des effectifs.

Remarques

• Le deuxième quartile d’une série statistique est la médiane de cette série : $Q_2=Me$.
• Plusieurs méthodes existent pour déterminer les valeurs de la médiane et des quartiles.

Caractère quantitatif discret : données non groupées en fonction de leur effectif

Déterminer la médiane et les quartiles si les données ne sont pas groupées

1. Classer les données par ordre croissant.
2. Pour déterminer la médiane, on divise la série en deux sous-groupes de même effectif :
   • Si l’effectif total de la série statistique est un nombre impair, la médiane est égale à la donnée située au milieu de la série.
   • Si l’effectif total de la série statistique est un nombre pair, la médiane se calcule en faisant la moyenne arithmétique des deux éléments situés en position $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$.
3. Pour déterminer les quartiles, on procède de la même manière en divisant la série en quatre sous-groupes de même effectif.

Exemple

Pour cette série statistique :

$$Me=\frac{6+7}{2}=6{,}5$$ $$Q_1=3$$ $$Q_3=8$$

Quartiles déterminés graphiquement

Si les données sont représentées dans un diagramme cumulatif :

1. Tracer le diagramme cumulatif des effectifs.
2. Trouver la plus petite modalité dont l’image est supérieure ou égale à :
   • $\frac{N}{4}$ : cette modalité est $Q_1$ ;
   • $\frac{N}{2}$ : cette modalité est $Me$ ;
   • $\frac{3N}{4}$ : cette modalité est $Q_3$.

Si le diagramme cumulatif tracé est lié aux fréquences cumulées, la démarche est similaire : on recherche les fréquences cumulées égales à 25 %, 50 % et 75 %.