Taux de Variation

Le nombre dérivé est une notion fondamentale en analyse qui permet de mesurer le taux de variation d'une fonction.

• Définition : Le taux de variation ou taux d'accroissement de la fonction $f$ entre les points $a$ et $b$ est donné par :

  $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$

  où $A(a, f(a))$ et $B(b, f(b))$.

• Interprétation géométrique : Ce taux de variation représente la pente de la droite (AB). Lorsque $b$ se rapproche de $a$, cette droite se rapproche de la tangente à la courbe de $f$ en $A$.

• Exemple : Pour la fonction $f(x) = 2x^2 - x + 3$, avec $a = 2$ et $b = 3$ :

  $$\frac{f(3) - f(2)}{3 - 2} = \frac{18 - 4}{1} = 14$$

La méthode pour calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point donné.

• Formule : Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est donné par :

  $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

• Étapes :

  1. Simplifier l'expression $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
  2. Remplacer $h$ par 0 après simplification.

• Exemple : Pour $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$ et calculer $f'(4)$ :

  $$f'(4) = \lim_{h \to 0} \frac{f(4+h) - f(4)}{h}$$

  Après simplification, on obtient :

  $$11 + 2h \xrightarrow[h \to 0]{} 11$$

  Donc, $f'(4) = 11$.

Calcul du taux de variation d'une fonction entre un point et un point voisin.

• Fonction : Soit $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$.

• Calcul :

  1. $f(1) = 0$.
  2. $f(1+h) = 3(1+h)^2 - 5(1+h) + 2 = 3h^2 + h$.
  3. Taux de variation :
  $$\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = 3h + 1$$

• Limite : Lorsque $h$ tend vers 0, le taux de variation se rapproche de $1$, qui est le coefficient directeur de la tangente.