Ensembles de Nombres

1. Ensembles de nombres

Les nombres sont regroupés en différents ensembles, chacun contenant le précédent.

Ensemble	Description	Notation	Exemple
Entiers naturels	Nombres entiers positifs ou nuls	$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$	$5, 0, 3$
Entiers relatifs	Nombres entiers positifs, nuls ou négatifs	$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$	$-7, 0, 4$
Nombres décimaux	Nombres avec écriture décimale finie, s'écrivant sous la forme $\frac{a}{n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$	$\mathbb{D}$	$-6{,}2, 0{,}91$
Nombres rationnels	Nombres s'écrivant comme quotient de deux entiers relatifs, $\frac{a}{b}$ avec $a,b \in \mathbb{Z}$ et $b \neq 0$	$\mathbb{Q}$	$-\frac{3}{7}, \frac{128}{13}$
Nombres réels	Tous les nombres imaginables, incluant rationnels et irrationnels	$\mathbb{R}$	$\pi, \sqrt{2}$

2. Inclusion des ensembles

Les ensembles sont emboîtés selon la relation :

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Cela signifie par exemple que tout nombre naturel est aussi un entier relatif, tout entier relatif est un nombre décimal, etc.

3. Nombres irrationnels

Les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés irrationnels. Ils ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction $\frac{a}{b}$ avec $a,b \in \mathbb{Z}$ .

Exemples : $\pi$ , $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ .

4. Exemples d'appartenance

Nombre	Ensemble(s) auquel il appartient	Ensemble(s) auquel il n'appartient pas
$-7$	$\mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$	$\mathbb{N}$
$-6{,}2$	$\mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$	$\mathbb{Z}, \mathbb{N}$
$-\frac{3}{7}$	$\mathbb{Q}, \mathbb{R}$	$\mathbb{D}, \mathbb{Z}, \mathbb{N}$
$\pi$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{Q}, \mathbb{D}, \mathbb{Z}, \mathbb{N}$

À retenir :
Les ensembles de nombres sont emboîtés, du plus restreint ( $\mathbb{N}$ ) au plus large ( $\mathbb{R}$ ), et les nombres irrationnels appartiennent à $\mathbb{R}$ mais pas à $\mathbb{Q}$ .

Ensembles de nombres

1. Ensembles de nombres

2. Inclusion des ensembles

3. Nombres irrationnels

4. Exemples d'appartenance

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