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Calcul numérique

1. Calcul numérique

Le calcul numérique au brevet repose sur la maîtrise des opérations de base et des règles simples.

a) Opérations sur les fractions

• Addition et soustraction : mettre au même dénominateur avant d'additionner ou soustraire les numérateurs.
• Multiplication : multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
• Division : multiplier par l'inverse de la fraction divisée.

Pour simplifier un calcul avec des fractions, toujours réduire les fractions au maximum.

b) Priorités opératoires

Nombres et calculs

1. Nombres relatifs

• Définition : nombres positifs ou négatifs, avec un signe (+ ou -).
• Représentation : sur une droite graduée.
• Comparaison : un nombre négatif est toujours plus petit qu’un nombre positif.
• Addition et soustraction :
  • Addition de deux nombres relatifs : même signe → addition des valeurs absolues, signe commun ; signes différents → soustraction des valeurs absolues, signe du plus grand en valeur absolue.
  • Soustraction : $a - b = a + (-b)$.
• Multiplication et division :
  • Même signe → résultat positif.

Les nombres relatifs : définition et vocabulaire

Les nombres relatifs sont les nombres qui peuvent être positifs, négatifs ou nuls. Ils s'écrivent avec un signe (+ ou -) devant un nombre entier ou décimal.

• Un nombre positif est supérieur à zéro (exemple : +3, +7, +0,5).
• Un nombre négatif est inférieur à zéro (exemple : -4, -1, -2,3).
• Le nombre zéro (0) est neutre, ni positif ni négatif.

1. Vocabulaire important

| Terme | Définition | Exemple |

Caractéristiques générales de la fonction du second degré

La fonction du second degré est une fonction polynomiale de la forme
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
avec $a \neq 0$.

1. Concavité de la parabole

• Si $a > 0$, la parabole est concave vers le haut (forme en U : $\cup$).
• Si $a < 0$, la parabole est concave vers le bas (forme en ∩).

2. Sommet de la parabole

• Le sommet est le point le plus bas (minimum) si $a > 0$, ou le plus haut (maximum) si $a < 0$.
• Coordonnées du sommet :
  $$S\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$

Ensembles de nombres et intervalles de R

1. Principaux ensembles de nombres

Ensemble	Notation	Description	Exemple
N	$\mathbb{N}$	Nombres entiers naturels (0, 1, 2, 3, ...)	$5 \in \mathbb{N}$
Z	$\mathbb{Z}$	Nombres entiers relatifs (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)	$-5 \in \mathbb{Z}$
R	$\mathbb{R}$	Nombres réels (tous les nombres connus)	$3.14 \in \mathbb{R}$
R*	$\mathbb{R}^*$	Nombres réels non nuls	$0 \notin \mathbb{R}^*$

Définition et coefficients d'une fonction polynôme du second degré

1. Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ f(x) = ax^2 + bx + c $$

avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$.

• $a$, $b$ et $c$ sont appelés les coefficients du polynôme.
• Cette fonction est aussi appelée fonction trinôme du second degré.

Exemple de fonction	Coefficients $a$, $b$, $c$
$f(x) = x^2 + 12x - 1$	$a=1$, $b=12$, $c=-1$

Mathématiques

1. Nombres et calculs

• Nombres relatifs : addition, soustraction, multiplication, division, opposé, valeur absolue.
• Fractions : simplification, addition, soustraction, multiplication, division.
• Puissances : définition, propriétés, calculs avec puissances de 10.
• Racines carrées : définition, calculs simples, simplification.
• Calcul littéral : expressions, développements, factorisations, identités remarquables.
• Équations et inéquations : résolution d’équations du premier degré, inéquations, systèmes simples.

2. Géométrie

Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles. Il établit une relation entre les longueurs des côtés.

1. Énoncé du théorème

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors :

$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $$

2. Utilisation

• Permet de calculer la longueur d'un côté dans un triangle rectangle si on connaît les deux autres.
• Utilisé pour vérifier qu'un triangle est rectangle.

Expression littérale

1. Expression littérale

Une expression littérale est un calcul qui contient une ou plusieurs lettres. Ces lettres représentent des nombres inconnus ou variables.

Exemple :
Gustave achète un pain au chocolat à 1,1 € et 3 baguettes.
Le prix total est :
$$1,1 + 3 \times x$$
où $x$ est le prix d'une baguette.

2. Simplification d'écriture

• On peut supprimer le symbole de multiplication "×" entre un nombre et une lettre.
  Par exemple :
  $$3 \times x = 3x$$

• De même, entre deux lettres, on écrit simplement :
  $$a \times b = ab$$