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Dérivée et sens de variation

1. Sens de variation et dérivée

• Nombre dérivé $f'(x_A)$ : coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_A$.
• Fonction dérivable sur un intervalle $I$ : $f$ admet un nombre dérivé en chaque $x \in I$. La fonction dérivée $f'$ associe à chaque $x$ ce nombre dérivé.

a) Relations entre dérivée et variations de $f$ sur $I$ :

Variation de $f$ sur $I$	Signe de $f'(x)$ pour tout $x \in I$

Fonction class="capitalize"

Fonction	Dérivée	Validité
( y = C )	( y' = 0 )	(\mathbb{R})
( y = x^n )	( y' = n x^{n-1} )	(\mathbb{R})
( y = \sqrt{x} )	( y' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} )	( x > 0 )
( y = \frac{1}{x} )	( y' = -\frac{1}{x^2} )	( x \in \mathbb{R}^* )

Définitions générales des équations et systèmes linéaires

1. Équations et solutions

• Équation : égalité entre deux expressions combinant des quantités connues (données, coefficients, paramètres) et inconnues (variables).

• Équation linéaire : équation où les inconnues apparaissent uniquement par addition, multipliées éventuellement par des constantes.

  Exemples
  Linéaires : $3x - y + z = 3$, $y = 3x - 2$, $y = ax + b$
  Non linéaires : $4x + 2xz = 1$, $x^2 + 6y = 4$

• Solution d’une équation : valeurs des inconnues qui rendent l’égalité vraie.

Définition et propriétés des espaces vectoriels

1. Espace vectoriel sur un corps $K$ (avec $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$)

Un espace vectoriel $E$ sur $K$ est un ensemble non vide muni de deux lois :

• une addition interne $+$ : $E \times E \to E$
• une multiplication externe (ou multiplication par un scalaire) $.$ : $K \times E \to E$

a) Propriétés de l'addition dans $E$

Pour tous $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in E$ :

| Propriété | Énoncé |

Équivalence de deux normes arbitraires

1. Théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb{R}^p$

• Énoncé : Toute suite $(x_n){n\in\mathbb{N}}$ dans le cube $[-1,1]^p$ admet une sous-suite convergente vers un point $x\infty \in [-1,1]^p$.

• Conséquence clé : Toute suite bornée dans $\mathbb{R}^p$ possède une sous-suite convergente.

2. Équivalence de deux normes sur un espace vectoriel de dimension finie

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, et $N_1$, $N_2$ deux normes sur $E$.

a) Théorème principal

Dérivées partielles : notions de base

1. Définition de la dérivée partielle

La dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables mesure la variation de la fonction par rapport à une seule variable, les autres variables étant considérées comme constantes.

Soit $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, la dérivée partielle de $f$ par rapport à la variable $x_i$ en un point $a = (a_1, \ldots, a_n)$ est définie par :

$$ \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \ldots, a_i + h, \ldots, a_n) - f(a)}{h} $$

2. Interprétation géométrique

Limites et continuité

1. Limites finies en un point

Soit une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie sur un intervalle $]a,b[$.
On dit que $f$ admet la limite $l$ en $x_0 \in ]a,b[$ si :

$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = l $$

c’est-à-dire que $f(x)$ se rapproche arbitrairement de $l$ lorsque $x$ se rapproche de $x_0$ (avec $x \neq x_0$).

Exemple : pour $f(x) = 2x$ sur $[0,1[$, on a $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.

2. Continuité en un point

Une fonction $f$ est continue en $x_0 \in ]a,b[$ si :

1. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ existe (limite finie),

Proportionnalité

1. Proportionnalité

La proportionnalité décrit une relation où deux grandeurs évoluent dans les mêmes proportions : si l'une est multipliée ou divisée par un facteur, l'autre l'est aussi par ce même facteur.

• Si on double une grandeur, l'autre double aussi.
• Si on divise une grandeur par 3, l'autre est divisée par 3 également.

a) Exemple simple

Quantité (kg)	Prix (€)	Prix ÷ Quantité (€ / kg)
2	6	3

Notion de dérivée et tangente

1. Notion de dérivée

• Coefficient directeur d'une droite (AB) :
  $$G = \frac{y_b - y_a}{x_b - x_a} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

• Définition de la dérivée en un point $x=a$ :
  La dérivée $f'(a)$ est la limite du coefficient directeur de la droite passant par $(a, f(a))$ et $(x, f(x))$ quand $x \to a$ :
  $$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \frac{dy}{dx} $$

• Interprétation géométrique :