Mathématiques Spécialité

1. Définitions et notions clés

• Suite : fonction définie sur $\mathbb{N}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, notée $(u_n)$.
• Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$, avec raison $r$.
• Suite géométrique : $u_{n+1} = q u_n$, avec raison $q$.
• Monotonie : croissante, décroissante, constante.
• Limite : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ (finie ou infinie).

2. Méthodes de démonstration

• Récurrence :
  1. Initialisation : vérifier la propriété pour $n=0$ ou $n=1$.
  2. Hérédité : supposer vraie pour $n$, démontrer pour $n+1$.
  3. Conclusion : la propriété est vraie pour tout $n$.

3. Exemple d'exercice type bac (récurrence)

Énoncé : Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 3n + 2$ où $(u_n)$ est définie par $u_0=2$ et $u_{n+1} = u_n + 3$.

Correction :

• Initialisation : $u_0 = 2 = 3 \times 0 + 2$ vraie.
• Hérédité : Supposons $u_n = 3n + 2$. Alors
  $u_{n+1} = u_n + 3 = 3n + 2 + 3 = 3(n+1) + 2$
  donc vraie pour $n+1$.
• Conclusion : par récurrence, $u_n = 3n + 2$ pour tout $n$.

1. Équations cartésiennes d’un plan

• Un plan $\mathcal{P}$ est défini par une équation de la forme
  $ax + by + cz + d = 0$
  où $(a,b,c)$ est un vecteur normal au plan.

2. Équation paramétrique d’une droite

• Une droite $\mathcal{D}$ passant par un point $A(x_0,y_0,z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u} = (u_1,u_2,u_3)$ s’écrit :
  $\begin{cases} x = x_0 + t u_1 \\ y = y_0 + t u_2 \\ z = z_0 + t u_3 \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$

3. Démonstration qu’un point appartient à un plan ou une droite

• Remplacer les coordonnées du point dans l’équation du plan ou de la droite.
• Si l’égalité est vraie, le point appartient.

4. Exemple d'exercice type bac (équation cartésienne)

Énoncé : Trouver une équation cartésienne du plan passant par $A(1,0,2)$ et orthogonal au vecteur $\vec{n} = (2,-1,3)$.

Correction :
L’équation est de la forme
$2x - y + 3z + d = 0$
Pour $A$,
$2 \times 1 - 1 \times 0 + 3 \times 2 + d = 0 \implies 2 + 0 + 6 + d = 0 \implies d = -8$
Donc l’équation est
$2x - y + 3z - 8 = 0$

1. Fonctions usuelles

• Polynômes, fonctions affines, carrée, racine carrée, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus.
• Domaine de définition, image.

2. Dérivée

• Définition : $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
• Règles de dérivation : somme, produit, quotient, composée.
• Dérivées usuelles : $(x^n)' = n x^{n-1}$, $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$, etc.

3. Étude de variations

• Le signe de $f'(x)$ détermine la monotonie de $f$.
• Tableau de variations.

4. Exemple d'exercice type bac (dérivation)

Énoncé : Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$.

Correction :

• $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$.
• Zéros de $f'$ : $x = \pm 1$.
• Signe de $f'$ :
  • $f'(x) > 0$ pour $x < -1$ et $x > 1$ (croissance).
  • $f'(x) < 0$ pour $-1 < x < 1$ (décroissance).
• Variations : croissante sur $(-\infty,-1]$, décroissante sur $[-1,1]$, croissante sur $[1,+\infty)$.

1. Notions de base

• Expérience aléatoire, univers $\Omega$, événements.
• Probabilité : fonction $P$ telle que $P(\Omega) = 1$, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ si $A \cap B = \emptyset$.

2. Probabilités conditionnelles

• $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, $P(B) > 0$.
• Formule des probabilités totales.
• Indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

3. Variables aléatoires discrètes

• Loi de probabilité, espérance $E(X)$, variance $V(X)$, écart-type $\sigma(X)$.
• Formules :
  $E(X) = \sum x_i P(X=x_i), \quad V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

4. Exemple d'exercice type bac (probabilités)

Énoncé : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité que la boule soit rouge ?

Correction :
Nombre total de boules : $3 + 2 = 5$.
Nombre de boules rouges : 3.
$P(\text{rouge}) = \frac{3}{5} = 0,6$

1. Exercice 1 : Récurrence (suite définie par une relation)

Énoncé : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$. Montrer que $u_n = 2^{n+1} - 1$.

Correction :

• Initialisation : $u_0 = 1 = 2^{0+1} - 1 = 2 - 1 = 1$.
• Hérédité : Supposons $u_n = 2^{n+1} - 1$.
  $u_{n+1} = 2u_n + 1 = 2(2^{n+1} - 1) + 1 = 2^{n+2} - 2 + 1 = 2^{n+2} - 1$
• Conclusion : par récurrence, la formule est vraie.

2. Exercice 2 : Démonstration d’appartenance à un plan

Énoncé : Vérifier si le point $M(2,-1,3)$ appartient au plan d’équation $x - 2y + z - 4 = 0$.

Correction :
Calcul : $2 - 2 \times (-1) + 3 - 4 = 2 + 2 + 3 - 4 = 3 \neq 0$.
Donc $M$ n’appartient pas au plan.

3. Exercice 3 : Équation cartésienne d’un plan

Énoncé : Trouver l’équation cartésienne du plan passant par $A(0,1,2)$ et orthogonal au vecteur $\vec{n} = (1,2,-1)$.

Correction :
Forme : $x + 2y - z + d = 0$.
Pour $A$,
$0 + 2 \times 1 - 2 + d = 0 \implies 0 + 2 - 2 + d = 0 \implies d=0$
Équation :
$x + 2y - z = 0$

À retenir : La démonstration par récurrence suit trois étapes clés : initialisation, hérédité, conclusion.
L’équation cartésienne d’un plan est donnée par un vecteur normal et un point.
La dérivée permet d’étudier les variations d’une fonction.
En probabilités, la somme des probabilités d’un univers est 1.