Probabilités

1. Expérience aléatoire

• Définition : Une expérience est dite aléatoire si :

  • Elle a des résultats possibles (issues) que l'on peut nommer.
  • On ignore à l'avance quel résultat va se produire.

• Exemple : Lancer une pièce de monnaie.

  • Issues possibles : « pile » ou « face ».
  • Résultat inconnu avant le lancer.

2. Probabilité d’une issue

• La probabilité d’une issue est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance que cette issue se produise.
• La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience est toujours égale à 1.

3. Estimer la probabilité d’une issue

• Propriété : En répétant une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence d’apparition d’une issue se rapproche de sa probabilité.

  

  La fréquence observée tend vers la probabilité réelle quand le nombre d’expériences augmente.

1. Probabilité d’un événement

• La probabilité d’un événement $A$, notée $p(A)$, est la somme des probabilités des issues qui le composent.
• Elle est toujours comprise entre 0 et 1 :
  $0 \leq p(A) \leq 1$
• Si $p(A) = 0$, l'événement est impossible (ne peut jamais se réaliser).
• Si $p(A) = 1$, l'événement est certain (se réalise toujours).

2. Exemple

Pour un dé équilibré à 6 faces, chaque issue a une probabilité égale de $\frac{1}{6} \approx 0,167$. Ainsi, la probabilité d'obtenir un nombre pair est :

$$p(\text{nombre pair}) = p(2) + p(4) + p(6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$$

3. Fréquence et probabilité

La fréquence d'une issue est le rapport entre le nombre de fois où cette issue est obtenue et le nombre total d'expériences réalisées. Plus le nombre d'expériences est grand, plus la fréquence se rapproche de la probabilité.

La fréquence d'apparition de chaque face est proche de la probabilité théorique $\frac{1}{6} \approx 16,7\%$.

À retenir : La probabilité d’un événement est la limite vers laquelle tend la fréquence de cet événement quand le nombre d’expériences augmente.

1. Événements et probabilités

• Événement contraire : Pour un événement $A$, son contraire $A^c$ se réalise lorsque $A$ ne se réalise pas.
• Propriété fondamentale : $$p(A) + p(A^c) = 1$$

La probabilité que $A$ ne se réalise pas est $p(A^c) = 1 - p(A)$.

2. Probabilité dans un univers équiprobable

• Équiprobabilité : Toutes les issues d'une expérience ont la même probabilité.
• Formule de probabilité : $$p(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}$$

3. Exemple d’application

• Jeu de 32 cartes (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as dans 4 couleurs).
• Événement $A$ : "tirer un as ou un roi".
• Nombre d’as = 4, nombre de rois = 4, total = 32.
• Probabilité : $$p(A) = \frac{4}{32} + \frac{4}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$$

4. Résumé des points clés

Pour calculer une probabilité dans un cas d’équiprobabilité, il suffit de compter les cas favorables et les cas possibles.

1. Arbre des probabilités

• Définition : Un arbre des probabilités représente toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.
• Arbre pondéré : Chaque branche porte une probabilité, la somme des probabilités issues d'un même nœud est toujours égale à 1.

2. Expérience aléatoire à deux épreuves

• On réalise deux épreuves successives, par exemple :

  1. Lancer une pièce équilibrée (Pile (P) ou Face (F))
  2. Tirer une boule dans un sac contenant 4 boules rouges et 3 boules vertes.

• Issue : Un résultat est une paire, par exemple (P ; R) signifie "Pile puis boule rouge".

3. Calcul des probabilités dans l’arbre pondéré

• La probabilité d’une issue est le produit des probabilités sur le chemin correspondant dans l’arbre.
• Exemple :
  $P(\text{Pile puis boule rouge}) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{7} = \frac{2}{7}$

La probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.