Systèmes de numération

1. Introduction aux systèmes numériques

Un ordinateur est constitué de circuits électroniques dont les composants (transistors, diodes, condensateurs) fonctionnent selon deux états physiques distincts : saturé/non saturé, passant/non passant, polarisé/non polarisé. Ces phénomènes sont dits binaires.

Pour que l'ordinateur puisse traiter une information, celle-ci doit être représentée sous une forme physique à deux états, codée par des symboles binaires 0 et 1. Cette représentation est appelée code binaire.

• Chaque bit correspond à un état binaire (0 ou 1).
• Une information numérique est codée sur n bits.
• Les opérations logiques sur ces bits correspondent à des expressions vraies/faux ou aux opérations ET, OU, NON.

2. La numération

La numération est la méthode qui permet de représenter des nombres à l’aide de symboles appelés chiffres dans un système donné.

• Un système de numération est défini par sa base $b$, qui correspond au nombre de symboles distincts utilisés.
• Le système binaire utilise la base $b=2$ avec les chiffres {0, 1}.
• Chaque position dans un nombre a un poids qui est une puissance de la base :
  $\text{poids} = b^k$
  où $k$ est la position du chiffre (en partant de 0 à droite).

Un nombre $N$ codé sur $n$ chiffres dans la base $b$ s’écrit :

$$N = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \times b^k$$

avec $a_k$ le chiffre à la position $k$.

À retenir : Un système numérique repose sur une base $b$ et représente les nombres par une somme pondérée des chiffres multipliés par des puissances de $b$. Le binaire est la base 2, essentielle en informatique.

1. Systèmes de numération fondamentaux

a) Système décimal (base 10)

• Symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Principe : système à poids positionnels, la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans le nombre.
• Exemple :
  $453 = 4 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 3 \times 10^0$
  • 4 = chiffre de poids le plus fort (MSB)
  • 3 = chiffre de poids le plus faible (LSB)
• Pour un nombre avec partie décimale, la virgule sépare puissances positives et négatives :
  $2745,214 = 2 \times 10^3 + 7 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 5 \times 10^0 + 2 \times 10^{-1} + 1 \times 10^{-2} + 4 \times 10^{-3}$
• Formule générale : $$N = \sum_{i=-m}^{n} a_i \times B^i$$ avec $B=10$, $a_i$ chiffre de rang $i$.

b) Limite du système décimal en électronique

• Difficile à implémenter avec 10 niveaux de tension différents.
• Préférence pour systèmes à 2 niveaux (binaire).

c) Système binaire (base 2)

• Symboles : 0, 1 (appelés bits)
• Formule générale : $$N_2 = \sum_{i=-m}^{n} a_i \times 2^i, \quad a_i \in \{0,1\}$$
• Notations :
  • MSB (Most Significant Bit) = bit de rang $n$ (poids le plus fort)
  • LSB (Less Significant Bit) = bit de rang $m$ (poids le plus faible)
• Base utilisée dans la plupart des systèmes numériques pour sa simplicité électronique.

d) Système hexadécimal (base 16)

• Symboles : 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, F
  (A=10, B=11, ..., F=15)
• Utilisé pour représenter facilement des nombres binaires longs.
• Correspondance entre hexadécimal, décimal et binaire :

e) Système octal (base 8)

• Symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• Utilisé parfois pour simplifier la lecture des nombres binaires (groupes de 3 bits).

À retenir :
Tout nombre dans un système à base $B$ s’écrit comme la somme des produits de ses chiffres par $B$ élevé à la puissance de leur rang :

$$N = \sum a_i \times B^i$$

avec $a_i$ dans l’ensemble des chiffres possibles de la base $B$.

1. Conversion décimal vers binaire

Deux méthodes principales pour convertir un nombre décimal en binaire :

1. Décomposition en puissances de 2
   Exprimer le nombre comme une somme de puissances de 2, puis noter un "1" ou "0" selon la présence ou non de chaque puissance.
   Exemple :

   $$34_{10} = 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 100010_2$$

2. Division successive par 2
   Diviser le nombre par 2, conserver le reste (0 ou 1), répéter avec le quotient jusqu'à obtenir 0.
   Les restes lus de bas en haut donnent le nombre binaire.

   Exemple pour 34 :

   Division	Quotient	Reste (bit)
   34 ÷ 2	17	0
   17 ÷ 2	8	1
   8 ÷ 2	4	0
   4 ÷ 2	2	0
   2 ÷ 2	1	0
   1 ÷ 2	0	1

   Résultat : $34_{10} = 100010_2$

À retenir : La conversion décimal → binaire par division successive consiste à diviser par 2 et à lire les restes du dernier au premier.

2. Conversion décimal vers hexadécimal

• Procédé similaire à la conversion binaire, mais on divise par 16.
• Les restes correspondent aux chiffres hexadécimaux (0–9, A=10, ..., F=15).
• Les restes lus du dernier au premier forment le nombre hexadécimal.

Exemple : convertir $423_{10}$ en hexadécimal

Résultat :

$$423_{10} = 1A7_{16}$$

3. Conversion décimal vers octal

• Même principe que pour l’hexadécimal, mais on divise par 8.
• Les restes (0 à 7) forment les chiffres octaux, lus du dernier au premier.

Exemple : convertir $135_{10}$ en octal

Résultat :

$$135_{10} = 207_8$$

À retenir : Pour convertir un nombre décimal en base $b$, on divise successivement par $b$ et on lit les restes du dernier au premier pour obtenir le nombre dans la base cible.

1. Conversion depuis autres bases vers décimal

Pour convertir un nombre d'une base quelconque $b$ vers la base décimale, on utilise la formule générale :

$$N_b = \sum_{k=0}^{n} d_k \times b^k$$

où $d_k$ est le chiffre à la position $k$ (en partant de la droite, position 0).

2. Conversion hexadécimal → décimal

• Chaque position correspond à une puissance de 16.
• Les chiffres vont de 0 à 9 puis A(10) à F(15).

Exemple : $B506_{16}$

$$B506_{16} = 6 \times 16^0 + 0 \times 16^1 + 5 \times 16^2 + B \times 16^3 = 6 + 0 + 1280 + 45056 = 46342_{10}$$

3. Conversion binaire → décimal

• Chaque position correspond à une puissance de 2.
• On additionne les puissances de 2 pour lesquelles le chiffre est 1.

Exemple : $11011_2$

$$1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27_{10}$$

4. Conversion octal → décimal

• Chaque position correspond à une puissance de 8.
• Les chiffres vont de 0 à 7.

Exemple : $263_8$

$$2 \times 8^2 + 6 \times 8^1 + 3 \times 8^0 = 2 \times 64 + 6 \times 8 + 3 = 179_{10}$$

À retenir : Pour convertir un nombre d'une base $b$ vers le décimal, on multiplie chaque chiffre par $b$ élevé à la puissance de sa position, puis on somme tous ces produits.

1. Transcodage Hexadécimal ↔ Binaire

• Hexadécimal → Binaire : remplacer chaque chiffre hexadécimal par son équivalent binaire sur 4 bits.
  Exemple :

  $$9F2_{16} = 9 \quad F \quad 2$$ $$9 = 1001, \quad F = 1111, \quad 2 = 0010$$ $$\Rightarrow 9F2_{16} = 100111110010_2$$

• Binaire → Hexadécimal : grouper les bits par 4 en partant de la droite, puis convertir chaque groupe en chiffre hexadécimal.
  Exemple :

  $$101110100110_2 = 1011 \quad 1010 \quad 0110$$ $$1011 = B, \quad 1010 = A, \quad 0110 = 6$$ $$\Rightarrow 101110100110_2 = BA6_{16}$$

2. Transcodage Octal ↔ Binaire

• Octal → Binaire : remplacer chaque chiffre octal par son équivalent binaire sur 3 bits.
  Exemple :

  $$532_8 = 5 \quad 3 \quad 2$$ $$5 = 101, \quad 3 = 011, \quad 2 = 010$$ $$\Rightarrow 532_8 = 101011010_2$$

• Binaire → Octal : grouper les bits par 3 en partant de la droite, puis convertir chaque groupe en chiffre octal.
  Exemple :

  $$101100110_2 = 101 \quad 100 \quad 110$$ $$101 = 5, \quad 100 = 4, \quad 110 = 6$$ $$\Rightarrow 101100110_2 = 546_8$$

À retenir :

• Chaque chiffre hexadécimal = 4 bits binaires
• Chaque chiffre octal = 3 bits binaires
• Le transcodage se fait par regroupement ou dégroupement des bits selon ces tailles.

1. Exercices de conversion et révision

a) Rappels sur les systèmes de numération

2. Conversion décimal → base 2/8/16 (Coder)

• Méthode : division euclidienne répétée par la base cible.
• Les restes successifs, lus de bas en haut, forment le nombre dans la nouvelle base.

3. Conversion base 2/8/16 → décimal (Décoder)

• Multiplier chaque chiffre par la puissance de la base selon son rang (poids).
• Somme des produits donne la valeur décimale.

Formule générale :

$$N = \sum_{k=0}^{n} d_k \times b^k$$

avec $d_k$ le chiffre au rang $k$ et $b$ la base.

4. Transcodage entre bases 2, 8 et 16

• Passer par la base décimale :
  Base 2/8/16 → décimal → base 8/16/2.
• Ou utiliser les regroupements de bits (ex : 3 bits = 1 chiffre octal, 4 bits = 1 chiffre hexadécimal).

5. Exercices corrigés essentiels

6. Exemple détaillé : conversion binaire → décimal

$11010001_2$
Calcul :

$$= 1 \times 2^0 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^4 + 0 \times 2^5 + 1 \times 2^6 + 1 \times 2^7$$ $$= 1 + 16 + 64 + 128 = 209_{10}$$

7. Résumé des étapes pour coder un nombre décimal en base 2/8/16

1. Diviser le nombre par la base cible.
2. Noter le reste (chiffre de la nouvelle base).
3. Répéter la division sur le quotient jusqu’à 0.
4. Lire les restes à l’envers pour obtenir le nombre converti.

8. Résumé des étapes pour décoder un nombre base 2/8/16 en décimal

1. Identifier chaque chiffre et sa position (rang).
2. Calculer le poids : base élevée au rang.
3. Multiplier chaque chiffre par son poids.
4. Additionner tous les produits.

À retenir :
La conversion entre bases passe toujours par la compréhension des poids (puissances de la base) et la maîtrise des divisions euclidiennes pour coder.

1. Convertisseur Analogique-Numérique (CAN) ADC0801

• Principe : Convertit une tension analogique $V_{pression}$ en un nombre binaire $N_p$.
• Caractéristique linéaire : $V_{pression} = \frac{1}{40} \times \text{Pression (bar)}$.
• Tension pleine échelle : $V_{\text{max}} = 5\,V$.
• Pression maximale : $$P_{\text{max}} = 40 \times V_{\text{max}} = 40 \times 5 = 200\, \text{bars}$$
• Résolution : $$q = \frac{V_{\text{max}}}{2^n - 1} = \frac{5}{255} \approx 0,0196\, V \quad \text{(pour } n=8 \text{ bits)}$$
• Conversion : $$N = \frac{V_e}{q}$$
• Tableau de conversion simplifié :

• Caractéristique $N_p = f(\text{Pression})$ : linéaire, unipolaire, de 0 à 255 pour 0 à 5 V.

2. Convertisseur Numérique-Analogique (CNA) DAC0800

• Principe : Convertit un nombre binaire $N_v$ en une tension analogique $V_{cons}$.
• Tension de référence : $$V_{\text{réf}} = V_z = 10\,V$$
• Résolution : $$R = 2^n - 1 = 255 \quad (n=8)$$
• Formule de conversion : $$V_{cons} = V_{\text{réf}} \times \left( \frac{-255}{256} + \frac{2N}{256} \right)$$
• Tableau de conversion simplifié :

• Caractéristique $V_{cons} = f(N_v)$ : symétrique autour de zéro, tension variant entre environ $-V_{\text{réf}}$ et $+V_{\text{réf}}$.

3. Résumé des relations clés

À retenir : Le CAN ADC0801 convertit une tension analogique en un code binaire proportionnel, tandis que le CNA DAC0800 réalise l'opération inverse, avec une tension de sortie proportionnelle au code binaire d'entrée.