Systèmes de numération

1. Conversion d'un nombre binaire (base 2) en nombre décimal (base 10)

Un nombre binaire s'écrit avec des chiffres 0 ou 1, chaque position correspondant à une puissance de 2.

a) Méthode de conversion

Pour convertir un nombre binaire en décimal, on calcule la somme des puissances de 2 correspondant aux chiffres égaux à 1.

• Soit un nombre binaire de $n$ chiffres : $b_{n-1}b_{n-2}...b_1b_0$ avec $b_i \in \{0,1\}$
• Sa valeur décimale est : $$\sum_{i=0}^{n-1} b_i \times 2^i$$ où $b_0$ est le chiffre le plus à droite (poids 1).

b) Exemple

Convertir $(01001101)_2$ en base 10 :

Calcul :
$64 + 8 + 4 + 1 = 77$

Donc :
$(01001101)_2 = (77)_{10}$

2. Conversion d'un nombre décimal en binaire

Pour convertir un nombre décimal en binaire, on décompose ce nombre en somme de puissances de 2.

• On cherche les puissances de 2 inférieures ou égales au nombre.
• On note 1 pour chaque puissance utilisée, 0 sinon.

a) Exemple

Convertir $(105)_{10}$ en binaire :

• $105 = 64 + 32 + 8 + 1$
• Correspond aux puissances $2^6$, $2^5$, $2^3$, $2^0$

Le nombre binaire est donc :
$(01101001)_2$

3. Conversion d’une couleur hexadécimale en composantes décimales (R, V, B)

Une couleur en hexadécimal s’écrit sous la forme #RRGGBB, où chaque paire de caractères correspond à une composante codée en base 16.

• Chaque composante (R, V, B) est convertie en décimal en calculant : $$\text{Valeur décimale} = (\text{chiffre}_1 \times 16) + \text{chiffre}_2$$

a) Exemple

Pour la couleur #14F3DE :

Donc :
$(R, V, B) = (20, 243, 222)$

À retenir : Pour convertir un nombre binaire en décimal, on additionne les puissances de 2 correspondant aux bits à 1.

1. Conversion de la base 10 à la base 2

Pour convertir un nombre décimal (base 10) en binaire (base 2), on utilise la méthode des divisions successives par 2 :

1. Diviser le nombre décimal par 2.
2. Noter le reste (0 ou 1).
3. Diviser le quotient obtenu par 2 à nouveau.
4. Répéter jusqu'à ce que le quotient soit 0.
5. Le nombre binaire est la lecture des restes de bas en haut (du dernier au premier).

2. Exemple de conversion

Convertir 211 en base 2 :

Lecture des restes de bas en haut : $211_{10} = 11010011_2$

3. Conversion binaire vers hexadécimal (base 16)

• Le système hexadécimal utilise 16 symboles : 0 à 9 puis A à F.
• Chaque chiffre hexadécimal correspond à 4 bits binaires.
• Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, on regroupe les bits par paquets de 4, en partant de la droite.

4. Exemple de conversion binaire → hexadécimal

Convertir $(0010\ 1011)_2$ en base 16 :

• $(0010)_2 = 2_{16}$
• $(1011)_2 = B_{16}$

Donc, $(0010\ 1011)_2 = (2B)_{16}$.

Convertir $(0111\ 1100)_2$ en base 16 :

• $(0111)_2 = 7_{16}$
• $(1100)_2 = C_{16}$

Donc, $(0111\ 1100)_2 = (7C)_{16}$.

À retenir : Pour convertir un nombre décimal en binaire, diviser successivement par 2 et lire les restes à l’envers. Pour passer du binaire à l’hexadécimal, regrouper les bits par 4 et convertir chaque groupe en chiffre hexadécimal.

1. Système hexadécimal

Le système hexadécimal est une base 16, utilisant les chiffres de 0 à 9 puis les lettres A à F pour représenter les valeurs de 10 à 15.

2. Conversion hexadécimal ↔ binaire

• Chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits en binaire.
• Pour convertir un nombre hexadécimal en binaire, il suffit de remplacer chaque chiffre par son équivalent binaire sur 4 bits.

Exemple :
$(A9)_{16}$ en base 2

• $A_{16} = 10_{10} = 1010_2$
• $9_{16} = 9_{10} = 1001_2$
  Donc,
  $(A9)_{16} = (10101001)_2$

3. Conversion binaire ↔ hexadécimal

• Regrouper les bits par paquets de 4, en partant de la droite.
• Convertir chaque groupe de 4 bits en son équivalent hexadécimal.

Exemple :
$(0110\ 1110)_2$

• $0110_2 = 6_{16}$
• $1110_2 = E_{16}$
  Donc,
  $(0110\ 1110)_2 = (6E)_{16}$

4. Conversion hexadécimal ↔ décimal

• Pour convertir un nombre hexadécimal en décimal, développer en base 16 :
  $(d_n d_{n-1} \dots d_0)_{16} = \sum_{k=0}^n d_k \times 16^k$
  avec $d_k$ la valeur décimale du chiffre hexadécimal.

• Pour convertir un nombre décimal en hexadécimal, diviser successivement par 16 et noter les restes.

5. Résumé des conversions

À retenir : Chaque chiffre hexadécimal correspond à un groupe de 4 bits en binaire.

1. Application aux couleurs HTML

Les couleurs en HTML sont codées grâce au système hexadécimal, qui utilise 16 symboles :

• Chiffres de 0 à 9
• Lettres de A à F (A=10, B=11, ..., F=15)

Chaque couleur est représentée par un triplet hexadécimal #RRGGBB, où :

• RR = intensité du rouge (de 00 à FF)
• GG = intensité du vert (de 00 à FF)
• BB = intensité du bleu (de 00 à FF)

Chaque composante est codée sur 8 bits, soit un nombre entre 0 et 255 en décimal, ou 00 à FF en hexadécimal.

a) Conversion décimal ↔ hexadécimal

• Pour convertir un nombre décimal (entre 0 et 255) en hexadécimal, on décompose en puissances de 16 :
  $\text{nombre} = a \times 16 + b$
  où $a$ et $b$ sont des chiffres hexadécimaux (0 à 15).
• Exemple : 255 en décimal = FF en hexadécimal (15 × 16 + 15).
• Exemple : 37 en décimal = 25 en hexadécimal (2 × 16 + 5).

b) Exemple d’une couleur en HTML

• Couleur rouge pur :

  • Rouge = 255 (FF)
  • Vert = 0 (00)
  • Bleu = 0 (00)
    → Code HTML : #FF0000

• Couleur vert clair :

  • Rouge = 37 (25)
  • Vert = 168 (A8)
  • Bleu = 98 (62)
    → Code HTML : #25A862

c) Résumé des bases utilisées

À retenir : En HTML, chaque couleur est codée par 6 chiffres hexadécimaux, représentant 3 composantes (rouge, vert, bleu) codées chacune sur 8 bits (0 à 255).

1. Conversion entre binaire et hexadécimal

L'hexadécimal est un système de numération en base 16, utilisant les chiffres de 0 à 9 puis les lettres A à F pour représenter les valeurs de 10 à 15.

2. Conversion hexadécimal → décimal

Pour convertir un nombre hexadécimal $(a b)_ {16}$ en décimal, on calcule :

$$(a b)_{16} = a \times 16 + b$$

avec $a$ et $b$ valeurs décimales des chiffres hexadécimaux.

Exemples :

• $(26)_{16} = 2 \times 16 + 6 = 38_{10}$
• $(E7)_{16} = 14 \times 16 + 7 = 231_{10}$
• $(1D)_{16} = 1 \times 16 + 13 = 29_{10}$

3. Application pratique : couleurs HTML

Les couleurs en HTML sont codées en hexadécimal sur 6 chiffres, regroupés par 2 pour le rouge (R), vert (V) et bleu (B).

Exemple : la couleur #26E71D correspond à

• Rouge : $(26)_{16} = 38_{10}$
• Vert : $(E7)_{16} = 231_{10}$
• Bleu : $(1D)_{16} = 29_{10}$

soit la couleur RGB $(38, 231, 29)$ en décimal.

4. Conversion binaire ↔ hexadécimal

• Chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits en binaire.
• Pour convertir du binaire en hexadécimal, on regroupe les bits par paquets de 4 (en partant de la droite) puis on remplace chaque groupe par son équivalent hexadécimal.
• Pour convertir de l'hexadécimal en binaire, on remplace chaque chiffre hexadécimal par son équivalent binaire sur 4 bits.

À retenir :
La conversion entre binaire et hexadécimal est simple et directe grâce à la correspondance 4 bits = 1 chiffre hexadécimal.

1. Exercices de conversion et routage IP

a) Conversion décimal ↔ hexadécimal

• Pour convertir un nombre décimal en hexadécimal, diviser successivement par 16 et noter les restes.
• Pour convertir un nombre hexadécimal en décimal, multiplier chaque chiffre par $16^k$ selon sa position.

Exemple :
$(32, 49, 250)_{10} = (20, 31, FA)_{16}$

b) Représentation des couleurs en RGB et hexadécimal

• Une couleur est codée par un triplet $(R, V, B)$ où chaque composante est un entier entre 0 et 255.
• En HTML, la couleur s’écrit en hexadécimal sous la forme #RRGGBB.

c) Exemple d’application

• La couleur $(R, V, B) = (32, 49, 250)$ correspond à la couleur HTML #2031FA.
• En hexadécimal :
  $32_{10} = 20_{16}$,
  $49_{10} = 31_{16}$,
  $250_{10} = FA_{16}$.

À retenir : La conversion entre décimal et hexadécimal est essentielle pour coder les couleurs en informatique, notamment en HTML avec la notation #RRGGBB.