Statistiques Descriptives

1. Population et Échantillon

• Population : ensemble général sur lequel on souhaite étudier une ou plusieurs caractéristiques (ex : habitants de la Terre).
• Échantillon : sous-ensemble de la population, plus petit, sur lequel on réalise les études (ex : groupe de Bordelais).

2. Types de Variables

3. Description des Variables

Pour passer des données brutes à des données résumées, on utilise :

1. Variables quantitatives

   • Mesure de tendance centrale : caractérise la valeur « moyenne » ou typique (ex : moyenne, médiane).
   • Mesure de dispersion : indique la variabilité autour de la tendance centrale (ex : écart-type, variance).

2. Variables qualitatives

   • Description par la fréquence ou la proportion de chaque modalité.

À retenir : La population est l’ensemble complet étudié, l’échantillon est une partie représentative. Les variables peuvent être quantitatives (discrètes ou continues) ou qualitatives, et leur description passe par des mesures adaptées à leur nature.

1. Types de Variables

a) Variables Quantitatives

Les variables quantitatives sont des mesures numériques qui permettent de calculer des statistiques comme la tendance centrale et la dispersion.

Exemple : Pour la série 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 11, 13

• Moyenne = 5,8
• Médiane = 6 (valeur centrale)
• Mode = 7 (valeur la plus fréquente)

b) Mesures de Dispersion (Variables Quantitatives)

La dispersion indique la variation autour de la tendance centrale.

c) Percentiles, Quartiles, Terciles, Déciles

d) Distribution des Variables Quantitatives

• Si moyenne = médiane = mode, alors la variable suit une loi normale (distribution symétrique).

e) Variables Qualitatives

Les variables qualitatives décrivent des catégories et sont analysées par leurs fréquences.

• Fréquence : proportion d’individus appartenant à une catégorie donnée.
  Exemple : Sur 10 personnes, 3 sont des femmes → fréquence = 3/10 = 30%.

La fréquence permet de quantifier la répartition des catégories dans un échantillon.

1. Variables quantitatives : définitions et représentation

• Variable quantitative : variable mesurée par un nombre, exprimant une quantité (ex. : nombre de Redbull consommés).
• Diagramme en barres : représentation graphique adaptée aux variables qualitatives.
• Histogramme : représentation graphique adaptée aux variables quantitatives continues.

2. Mesures de tendance centrale et de dispersion

Pour une série de données quantitatives ordonnées, par exemple :
$1; 3; 7; 8; 8; 12; 17$

3. Points clés à retenir

• Le mode est la valeur la plus fréquente dans la série.
• La médiane est la valeur qui sépare la série ordonnée en deux parties égales.
• L’étendue mesure la dispersion par la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
• Dans l’exemple, le mode et la médiane sont égaux à 8.
• L’étendue est égale à 16, pas 15.

La médiane et le mode peuvent être égaux, mais ce n’est pas systématique.
L’étendue est toujours la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.

1. Variables Qualitatives : Notions Clés

• Variable qualitative : variable dont les modalités sont des catégories (ex : couleur, genre).
• Effectif ($n_i$) : nombre d’observations dans chaque modalité.
• Fréquence ($f_i$) : proportion d’observations dans chaque modalité, $f_i = \frac{n_i}{n}$, où $n$ est la taille de l’échantillon.

2. Échantillon et Représentativité

• Échantillon : sous-ensemble extrait d’une population.
• Fluctuation d’échantillonnage : variations naturelles des statistiques (moyenne, fréquence) entre différents échantillons issus de la même population.
• Représentativité : un échantillon est représentatif si :
  1. Son effectif est suffisamment grand.
  2. Il est extrait au hasard (randomisation) de la population.

3. Moyenne, Variance et Écart-Type (pour variables quantitatives)

4. Loi Normale et Intervalle de Confiance (IC)

• Loi normale : distribution continue en forme de cloche, symétrique, centrée sur la moyenne $\mu$.
• Intervalle de confiance (IC) : intervalle dans lequel on estime que la vraie valeur (moyenne ou fréquence) se trouve avec un certain niveau de confiance $1-\alpha$.
• Exemple : un IC à 95 % correspond à $\alpha = 5\%$.
• Interprétation : si on répète l’étude plusieurs fois, dans 95 % des cas la vraie valeur sera dans l’IC calculé.

À retenir : un échantillon représentatif, extrait au hasard et de taille suffisante, permet d’estimer la population avec un intervalle de confiance qui mesure la précision de cette estimation.

1. Estimation et Fluctuation d'Échantillonnage

a) Notions clés

• Population : caractérisée par la moyenne $\mu$, l'écart-type $\sigma$ et la fréquence $P$.
• Échantillon : caractérisé par la moyenne $m$, l'écart-type $s$ et la fréquence $f$.
• Objectif : estimer $\mu$ ou $P$ à partir de $m$ ou $f$.

2. Estimation de la moyenne $\mu$ (variable quantitative)

• Condition à priori :
  • Taille de l'échantillon $N > 30$.
  • La variable suit une loi normale.
• Intervalle de confiance (niveau de confiance $\alpha = 5\%$) :
  $m \pm U_\alpha \times \frac{s}{\sqrt{N}}$
• Valeur typique de $U_\alpha$ :
  $U_\alpha \approx 1{,}96$ (souvent arrondi à 2 pour simplifier).

3. Estimation de la fréquence $P$ (variable qualitative)

• Conditions à posteriori :
  $NP \geq 5 \quad \text{et} \quad N(1-P) \geq 5$ La variable suit une loi normale.
• Intervalle de confiance (niveau de confiance $\alpha = 5\%$) :
  $f \pm U_\alpha \times \sqrt{\frac{f(1-f)}{N}}$
• Remarque :
  • On prend le plus petit entre $p$ et $q = 1-p$ pour vérifier les conditions.
  • Exemple : $P=0{,}6 \pm 0{,}2$, $N=54$
    $P_1 = 0{,}4$, $P_2 = 0{,}8$,
    $Q_1 = 0{,}6$, $Q_2 = 0{,}2$
    Calculs :
    $NP = 54 \times 0{,}4 = 21{,}6 \geq 5, \quad NQ = 54 \times 0{,}2 = 10{,}8 \geq 5$
    Conditions respectées.

4. Résumé des conditions et calculs

5. Exemple QCM

Un groupe de 25 tuteurs a une moyenne de 10 cousins avec un écart-type de 5. On cherche à estimer la moyenne dans la population.

• Variable : quantitative (nombre de cousins).
• Taille $N=25$ (inférieure à 30) → condition à priori non respectée strictement.
• Moyennes suivent une loi normale.
• Intervalle de confiance à 5% :
  $10 \pm 2 \times \frac{5}{\sqrt{25}} = 10 \pm 2$

Réponses correctes :

• B. On doit vérifier les conditions à priori.
• D. $m \in [10 \pm 2]$
• E. Les conditions sont respectées (loi normale, approximation acceptable).

À retenir : Pour estimer un paramètre de population à partir d’un échantillon, il faut vérifier les conditions (taille et loi normale) puis calculer un intervalle de confiance avec la formule adaptée à la variable (quantitative ou qualitative).

1. Représentativité et Loi Normale

a) Notions clés

• Population : ensemble complet sur lequel on souhaite faire une étude.
• Échantillon : sous-ensemble représentatif de la population, utilisé pour estimer des caractéristiques de la population.
• Variable quantitative : variable mesurable numériquement (ex. : nombre de cousins).
• Moyenne ($\mu$) : valeur moyenne d’une variable dans la population.
• Écart-type ($\sigma$) : mesure de la dispersion des valeurs autour de la moyenne.

b) Exemple type

• Échantillon : 25 tuteurs.
• Moyenne observée : $\bar{x} = 10$ cousins par personne.
• Écart-type observé : $s = 5$.
• Objectif : estimer la moyenne $\mu$ de la population totale des tuteurs.

c) Loi Normale et Moyennes d’échantillons

• La distribution des moyennes d’échantillons suit une loi normale si :
  • La variable est quantitative.
  • L’échantillon est suffisamment grand (souvent $n \geq 30$) ou la variable suit déjà une loi normale.
• Ici, $n=25$ est proche de 30, on peut supposer la normalité ou vérifier la condition.

d) Conditions à vérifier

e) Niveau de confiance

• Le niveau de confiance est fixé par $\alpha = 5\%$ (risque d’erreur).
• Cela signifie que l’intervalle de confiance construit aura 95% de chances de contenir la vraie moyenne $\mu$.

À retenir : Pour estimer la moyenne d’une population à partir d’un échantillon, la moyenne des échantillons suit une loi normale si la variable est quantitative et que l’échantillon est assez grand ou la variable normale. Le niveau de confiance $\alpha$ fixe la précision de l’estimation.

f) Résumé des étapes

1. Vérifier que la variable est quantitative.
2. Vérifier la taille de l’échantillon ou la normalité de la variable.
3. Utiliser la loi normale pour modéliser la distribution des moyennes.
4. Fixer un niveau de confiance $\alpha$ pour construire un intervalle d’estimation.

Cette base permet d’estimer la moyenne de la population à partir de l’échantillon et de quantifier l’incertitude liée à cette estimation.

1. Intervalle de Confiance (IC)

L'intervalle de confiance permet d'estimer un paramètre inconnu (ex. la moyenne $\mu$ d'une population) à partir d'un échantillon.

2. Formule générale de l'intervalle de confiance pour la moyenne

Pour un échantillon de taille $N$, avec moyenne observée $\overline{x}$ et écart-type $s$, et un niveau de confiance $1-\alpha$ (ex. 95%), l'intervalle de confiance est :

$$\mu \in \left[ \overline{x} \pm U_\alpha \times \frac{s}{\sqrt{N}} \right]$$

• $U_\alpha$ : valeur critique de la loi normale centrée réduite (ex. $U_{0.05} = 1.96 \approx 2$ pour 95%)
• $s/\sqrt{N}$ : erreur standard de la moyenne

3. Exemple d'application

• Taille de l'échantillon : $N=25$
• Moyenne observée : $\overline{x} = 10$
• Écart-type : $s=5$
• Niveau de confiance : $95\%$ ($\alpha=5\%$)
• Valeur critique : $U_{0.05} = 1.96 \approx 2$

Calcul de l'intervalle :

$$\mu \in \left[ 10 \pm 2 \times \frac{5}{\sqrt{25}} \right] = [10 \pm 2]$$

Donc :

$$\mu \in [8, 12]$$

4. Conditions d'application

• La variable doit suivre une loi normale ou $N$ doit être suffisamment grand (en général $N \geq 30$).
• Ici, $N=25$ est un peu faible, mais on suppose la normalité des moyennes.
• Le niveau de confiance $\alpha$ est fixé (ex. 5%).

À retenir : L'intervalle de confiance donne un intervalle plausible pour la moyenne de la population avec un certain niveau de confiance, calculé à partir de la moyenne et de l'écart-type de l'échantillon.