Vocabulaire
1) 📝 Définition
- La population est l'ensemble des éléments sur lesquels porte l'observation.
- Les individus sont les éléments de la population.
- Un échantillon d'une population est une partie représentative de la population sur laquelle porte l'observation.
- L'effectif de l'échantillon est le nombre d'individus de cet échantillon.
2) 📝 Exemple 1
On souhaite établir le degré d'addictions des jeunes belges de 16 ans aux smartphones. Pour cela, on interroge 50 jeunes de 16 ans sur le nombre d'heures passés sur leur smartphone.
- Quelle est la population ?
les jeunes belges de 16 ans - Quels sont les individus ?
un jeune belge de 16 ans - Quel est l'échantillon ?
50 jeunes belges de 16 ans - Quel est l'effectif ?
50
3) ⚠️ Remarque :
Comme une étude statistique faite sur l'entièreté de la population peut prendre beaucoup de temps et comme la population risque de changer pendant la durée de l'observation, il est plus intéressant de choisir un échantillon. La constitution de cet échantillon ne doit donc pas être laissée au hasard car il doit être représentatif de la population étudiée. Dans l'exemple ci-dessus, on ne pourrait pas constituer un échantillon contenant 30 % de filles alors qu'il y a 50 % de filles dans l'école.
4) 📝 Définition
- Un caractère est une caractéristique étudiée lors d'une étude statistique.
- Les modalités sont les différentes valeurs que peut prendre le caractère.
- Un caractère est qualitatif lorsque les modalités ne sont pas des nombres.
- Un caractère est quantitatif lorsque les modalités sont des nombres :
- Un caractère est de type continu lorsque les modalités peuvent être n'importe quelle valeur d'un intervalle.
- Un caractère est de type discret lorsque les modalités prennent un certain nombre de valeurs isolées.
5) ⚠️ Remarque :
Lorsqu'un caractère discret présente de nombreuses modalités, les statisticiens préfèrent alors le traiter comme un caractère continu. Bien entendu, ils évaluent les taux d'erreurs que cela génère (mais cela n'est pas l'objet de notre cours).
6) 📝 Exemple 1
Pour connaître la situation familiale des élèves du Collège, j'interroge 400 élèves sur le nombre de frères et soeurs que possède cet élève. Les résultats indiquent qu'aucun élève n'a 5 frères et soeurs ou plus.
- Quel est le caractère étudié ?
le nombre de frères et de soeurs - Quel est le type de caractère étudié ?
Il est quantitatif discret - Quelles sont les modalités ?
de 0 à 4 (0,1,2,3 et 4)
7) 📝 Exemple 2
Cocher les bonnes cases dans le tableau suivant afin de préciser le type de caractères étudié :
| Caractère | Quantitatif discret | Quantitatif continu | Qualitatif |
|---|---|---|---|
| Boisson préférée des jeunes de 20 ans | ✓ | ||
| Temps passé devant la télévision par jour | ✓ | ||
| Nombre de films regardés par semaine | ✓ | ||
| Poids des jeunes d'une école secondaire | ✓ | ||
| Commune de naissance de 60 élèves | ✓ |
8) 📝 Définition
- L'effectif (n_i) d'une modalité (x_i) est le nombre de fois que cette modalité apparaît.
- L'effectif total (n) est la somme des effectifs des différentes modalités.
- La fréquence (f_i) d'une modalité (x_i), est le quotient (f_i = \frac{n_i}{n}).
- L'effectif cumulé (N_i) d'une modalité (x_i) est la somme des effectifs de cette modalité et de celles qui la précèdent.
- La fréquence cumulée (F_i) d'une modalité (x_i) est le quotient (F_i = \frac{N_i}{n}).
9) 📝 Exemple de type quantitatif discret
Nous nous basons sur les données de l'exemple situé à la page 59.
- Compléter le tableau recensé de cette étude statistique.
10) b) Diagramme des effectifs cumulés
Le diagramme des effectifs cumulés (fréquences cumulées) se réalise dans un repère :
- En abscisse, nous portons les différentes valeurs du caractère.
- En ordonnée, nous portons les effectifs cumulés (fréquences cumulées) de chaque modalité.
⚠️ Remarque :
Lorsqu'un caractère est quantitatif discret, toute valeur comprise entre deux modalités a le même effectif cumulé que la modalité qui est inférieure à cette valeur. C'est pourquoi le diagramme des effectifs cumulés (fréquences cumulées) est en escalier.
11) 📝 Exemple de type quantitatif discret
Nous nous basons sur les données situées aux pages 59 et 60.
Réaliser le diagramme des effectifs cumulés.
Diagramme (extrait) :
22 |
20 | ●
18 | ● ○
16 | ● ● ●
14 | ● ● ● ●
12 | ● ● ● ●
10 |● ● ● ● ●
8 |● ● ● ● ●
6 |● ● ● ● ●
4 |● ● ● ● ●
2 |● ● ● ● ●
0 |--------------------------------
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4. PARAMÈTRES DE POSITION
Pour résumer l'information contenue dans un ensemble de données statistiques, nous allons établir des paramètres de position. Ceux-ci sont soit des paramètres donnant des valeurs centrales (mode, moyenne ou médiane) ou des paramètres qui divisent la série en groupes de même effectif (quartiles, déciles...).
a) Le mode
📝 Définition
Le mode (M) d'une série statistique est (sont) la (ou les) modalité(s) du caractère observé ayant le plus grand effectif (ou la plus grande fréquence).
b) La moyenne
La moyenne est généralement la caractéristique qui représente le mieux le centre de la série statistique. Elle se calcule facilement et sa signification est très concrète. C'est en général la tendance centrale qui est la plus utilisée.
📝 Définition Moyenne
La moyenne (\bar{x}) d'une série statistique est le nombre
[
\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
]
⚠️ Remarque :
- La moyenne n'est pas forcément une valeur observée dans la série.
- Attention : la moyenne est fort influencée par les valeurs extrêmes !
- La notation (x_1 + x_2 + ... + x_n) est parfois lourde à utiliser, nous préférons
[ \sum_{i=1}^n x_i ]
qui se lit "la somme des (x_i) pour (i) allant de 1 à (n)". Ce symbole (\sum) est la lettre "S" (sigma) en grec qui rappelle le mot "somme".
c) L'écart-type
📝 Définition Ecart-type
Soit (x_i) le centre de la (i^{e}) classe d'une série de type quantitatif continu (avec (i \in {1,...,n})).
- L'écart-type, noté (\sigma), est donné par
[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^p (n_i \cdot x_i^2) - \bar{x}^2} ] - L'intervalle de confiance est l'intervalle ([\bar{x} - \sigma, \bar{x} + \sigma]).
Cet intervalle contient la plupart des observations.
5. PARAMÈTRES DE DISPERSION
a) L'étendue
📝 Définition Étendue
L'étendue (e) d'une série statistique est la différence entre la borne supérieure de la dernière classe et la borne inférieure de la première classe.
b) L'intervalle interquartile et la boîte à moustaches
📝 Définition Intervalle interquartile
L'intervalle interquartile d'une série statistique est l'intervalle ([Q_1, Q_3]).
Cet intervalle contient au moins 50% des observations.
La boîte à moustache d'une série statistique est un graphe faisant apparaître, sous forme d'une "boîte", l'intervalle interquartile et la médiane et, sous forme de "moustache", les valeurs minimale et maximale de la série.
DÉFINITIONS (extrait)
-
Cercle trigonométrique
Dans un repère orthonormé du plan, le cercle trigonométrique est le cercle centré à l'origine du repère, dont le rayon est 1 et qui est orienté positivement dans le sens anti-horloger. -
Sinus et cosinus d'un angle
Soit ((O; x; y)) un repère orthonormé du plan.
Soit (\alpha) un angle orienté et rapporté au cercle trigonométrique.
Soit (P) le point correspondant sur le cercle trigonométrique.
- Le cosinus de (\alpha), noté (\cos \alpha), est l'abscisse du point (P) dans ce repère.
- Le sinus de (\alpha), noté (\sin \alpha), est l'ordonnée du point (P) dans ce repère.
- Tangente et cotangente d'un angle
Soit ((O; x; y)) un repère orthonormé du plan.
Soit (\alpha) un angle orienté et rapporté au cercle trigonométrique.
- La tangente de (\alpha), noté (\tan \alpha), est le réel défini par :
[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} ] - La cotangente de (\alpha), noté (\cot \alpha), est le réel défini par :
[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} ]
CONDITIONS D'EXISTENCE (extrait)
- (\tan \alpha \in \mathbb{R} \iff \alpha \neq 90^\circ + k \cdot 180^\circ) avec (k \in \mathbb{Z})
- (\tan \alpha \neq 0 \iff \alpha \neq k \cdot 180^\circ) avec (k \in \mathbb{Z})
- (\cot \alpha \in \mathbb{R} \iff \alpha \neq k \cdot 180^\circ) avec (k \in \mathbb{Z})
- (\cot \alpha \neq 0 \iff \alpha \neq 90^\circ + k \cdot 180^\circ) avec (k \in \mathbb{Z})
- (\sin \alpha \neq 0 \iff \alpha \neq k \cdot 180^\circ) avec (k \in \mathbb{Z})
- (\cos \alpha \neq 0 \iff \alpha \neq 90^\circ + k \cdot 180^\circ) avec (k \in \mathbb{Z})
VALEURS PARTICULIÈRES (extrait)
| Mesure de (\alpha) en degrés | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| (\sin \alpha) | 0 | (\frac{1}{2}) | (\frac{\sqrt{2}}{2}) | (\frac{\sqrt{3}}{2}) | 1 |
| (\cos \alpha) | 1 | (\frac{\sqrt{3}}{2}) | (\frac{\sqrt{2}}{2}) | (\frac{1}{2}) | 0 |
| (\tan \alpha) | 0 | (\frac{\sqrt{3}}{3}) | 1 | (\sqrt{3}) | ∞ |
| (\cot \alpha) | ∞ | (\sqrt{3}) | 1 | (\frac{\sqrt{3}}{3}) | 0 |
DÉMONSTRATIONS (extrait)
Proposition formule fondamentale de trigonométrie
Pour tout angle (\alpha) :
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
Démonstration
Soit (\alpha) un angle orienté et rapporté au cercle trigonométrique de centre (O). Notons (P) le point correspondant à (\alpha) sur le cercle trigonométrique.
Par définition du sinus et du cosinus, on a que (P(\cos \alpha, \sin \alpha)).
D'une part, nous pouvons calculer (|OP|) avec les coordonnées de (O) et de (P) :
[
|OP| = \sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}
]
D'autre part, le rayon du cercle trigonométrique vaut 1, donc (|OP| = 1).
Par conséquent :
[
\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} = 1 \implies \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1
]
© Collège du Christ-Roi