Probabilités

1. Expérience aléatoire

• Définition : expérience dont le résultat ne peut être prédit avec certitude.
• Exemple : lancer de dé, tirage d’une carte.

2. Univers et événements

• Univers ($\Omega$) : ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience.
• Événement : sous-ensemble de $\Omega$.
• Événement élémentaire : événement constitué d’un seul résultat.
• Événement certain : $\Omega$ (probabilité 1).
• Événement impossible : ensemble vide $\emptyset$ (probabilité 0).

3. Probabilité d’un événement

• Fonction $P$ qui associe à chaque événement $A$ un nombre $P(A)$ tel que :
  • $0 \leq P(A) \leq 1$,
  • $P(\Omega) = 1$,
  • Si $A$ et $B$ sont disjoints, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

À retenir : La probabilité mesure la chance qu’un événement se réalise, entre 0 (impossible) et 1 (certain).

1. Probabilité d’un événement simple

• Si tous les résultats élémentaires sont équiprobables, alors $$P(A) = \frac{\text{nombre d’éléments favorables à } A}{\text{nombre total d’éléments de } \Omega}$$

2. Probabilité complémentaire

• Pour un événement $A$, son complémentaire $\overline{A}$ est l’événement « $A$ ne se produit pas ».
• Relation : $$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$

3. Probabilité de l’union de deux événements

• Pour deux événements $A$ et $B$, $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
• Si $A$ et $B$ sont incompatibles (disjoints), $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

4. Probabilité de l’intersection de deux événements indépendants

• $A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas l’autre.
• Alors, $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

1. Probabilité conditionnelle

• Probabilité que $B$ se réalise sachant que $A$ est réalisé.
• Notée $P_B(A)$ ou $P(B|A)$, $$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad \text{si } P(A) > 0$$

2. Formule des probabilités totales

• Si $(A_i)_{i=1}^n$ est une partition de $\Omega$ (événements disjoints dont la réunion est $\Omega$), $$P(B) = \sum_{i=1}^n P(B|A_i) \times P(A_i)$$

3. Indépendance

• $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
• L’indépendance implique que $P(B|A) = P(B)$.

1. Utilité

• Représenter graphiquement une expérience aléatoire en plusieurs étapes.
• Chaque branche porte une probabilité conditionnelle.

2. Construction

• Chaque nœud correspond à un événement.
• Les branches partent d’un nœud vers les événements suivants.
• La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités sur les branches.

3. Calcul avec un arbre

• Probabilité d’un événement final = somme des probabilités des chemins menant à cet événement.

1. Calcul de probabilité simple

1. Identifier l’univers $\Omega$.
2. Compter les cas favorables.
3. Appliquer la formule de la probabilité.

2. Utilisation de la probabilité conditionnelle

1. Identifier les événements conditionnants.
2. Calculer les probabilités conditionnelles.
3. Appliquer la formule des probabilités totales ou de Bayes.

3. Vérification d’indépendance

• Vérifier si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.