Statistiques et Analyse de Données

1. Série statistique et vocabulaire de base

Une série statistique est un ensemble de valeurs recueillies lors d'une enquête ou étude.

2. Types de caractères

• Caractère quantitatif : valeurs numériques (ex : âge, poids).
• Caractère qualitatif : valeurs non numériques (ex : couleur, genre).

3. Valeurs extrêmes

• Valeurs extrêmes : plus petite et plus grande valeur de la série.

4. Exemple résumé

• Population : ensemble des chèques-cadeaux.
• Caractère : valeur en euros des chèques-cadeaux.
• Effectif total : 24.
• Effectif de la valeur 20 : 5.
• Fréquence de la valeur 20 :
  $\frac{5}{24} \approx 0,2083 \approx 20,83\%$

Une fréquence exprime la proportion d'une valeur dans la série statistique.

1. Moyenne d'une série

La moyenne d'une série de données est la valeur qui représenterait chaque individu si toutes les valeurs étaient égales, tout en conservant la somme totale des valeurs.

• Formule :
  $M = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{effectif total}}$

2. Moyenne pondérée

Quand les valeurs ont des effectifs différents, la moyenne pondérée prend en compte ces effectifs.

• Formule :
  $M = \frac{\sum (\text{valeur} \times \text{effectif})}{\text{effectif total}}$

• Exemple :
  Pour des chèques-cadeaux :
  $M = \frac{2 \times 1 + 10 \times 11 + 16 \times 1 + 18 \times 1 + 19 \times 1 + 20 \times 5 + 100 \times 3 + 500 \times 1}{24} = 44,38$
  La valeur moyenne est donc 44,38 euros.

3. Moyenne d'une série regroupée en classes

Quand les données sont regroupées en classes, on utilise le centre de chaque classe comme valeur représentative.

• Calcul du centre de classe :
  $\text{centre} = \frac{\text{borne inférieure} + \text{borne supérieure}}{2}$

• Calcul de la moyenne :
  $M = \frac{\sum (\text{centre de classe} \times \text{effectif})}{\text{effectif total}}$

• Exemple :
  Pour une série d'âges regroupés en classes :

  Classe d'âge	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	Total
  Centre	15	25	35	45	55	65
  Effectif	240	628	556	370	356	190	2340

  Calcul :
  $\sum (\text{centre} \times \text{effectif}) = 15 \times 240 + 25 \times 628 + \dots + 65 \times 190 = 87320$
  Moyenne :
  $M = \frac{87320}{2340} = 37,32$

À retenir : La moyenne pondérée prend en compte la fréquence ou l'importance de chaque valeur, contrairement à la moyenne simple qui traite toutes les valeurs de manière égale.

1. Représentation graphique des données

Pour visualiser une série statistique, on utilise différents types de graphiques adaptés aux données.

a) Diagramme en bâtons

• Définition : Un diagramme en bâtons représente chaque catégorie par un rectangle (bâton) dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif de cette catégorie.
• Utilité : Permet de comparer facilement les effectifs entre différentes catégories.
• Exemple : Si les effectifs sont 0, 1, 2, 11, 0, 3, 1 pour les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, alors chaque bâton aura une hauteur proportionnelle à ces nombres.

Un diagramme en bâtons facilite la lecture des effectifs par catégorie grâce à la hauteur des rectangles.

1. Étendue

• Définition : L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.
  $\text{Étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$

• Interprétation :

  • L'étendue est un indice de dispersion.
  • Plus l'étendue est grande, plus la série est hétérogène (variée).
  • Plus l'étendue est petite, plus la série est homogène (concentrée).

2. Médiane

• Définition : La médiane est la valeur qui partage la série en deux parties de même effectif.
• Pour une série ordonnée de taille $n$ :
  • Si $n$ est impair, la médiane est la valeur au rang $\frac{n+1}{2}$.
  • Si $n$ est pair, la médiane est la moyenne des valeurs aux rangs $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2}+1$.

3. Exemple

Série : 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9

• Étendue : $9 - 9 = 0$ (série homogène)
• Médiane : 9 (valeur centrale)

4. Résumé des calculs

À retenir : La médiane divise la série en deux groupes égaux, l'étendue mesure la différence entre les valeurs extrêmes.

5. Méthode pour trouver la médiane

1. Ordonner les données de la plus petite à la plus grande.
2. Trouver le rang médian :
   • Si $n$ impair : rang = $\frac{n+1}{2}$
   • Si $n$ pair : moyenne des valeurs aux rangs $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2}+1$
3. Lire la valeur correspondante.

6. Exemple d'application

Série des temps (en secondes) : 20,19 ; 19,44 ; 20,57 ; 20,00 ; 19,32 ; 19,90 ; 19,84

• Étendue : $20,57 - 19,32 = 1,25$ s
• Médiane (7 valeurs, rang 4) : 19,90 s (Anaïs a couru en 19,90 s)

7. Remarque sur la moyenne (exercice complémentaire)

• La moyenne est la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.
• Elle complète l'information donnée par l'étendue et la médiane pour décrire la série statistique.

8. Interprétation pratique

• Une petite étendue signifie que les données sont proches les unes des autres.
• Une grande étendue indique une grande variation dans les données.
• La médiane est utile pour connaître la valeur centrale, surtout quand la série est asymétrique ou contient des valeurs extrêmes.

9. Exemple de comparaison entre deux classes (extrait)

• La classe avec la médiane la plus élevée a plus de "grands lecteurs".
• L'étendue indique la variabilité des emprunts dans chaque classe.

10. Synthèse

• Étendue : différence entre max et min, mesure la dispersion.
• Médiane : valeur centrale qui partage la série en deux moitiés égales.
• Ces deux indicateurs sont essentiels pour décrire la répartition des données dans une série statistique.