Statistiques et Médiane

1. Objectifs des statistiques

• Résumer un grand nombre de données.
• Comprendre la répartition des données.
• Comparer des groupes.
• Prendre des décisions basées sur les données.

1. Effectif et fréquence

• Effectif : nombre d’éléments correspondant à une valeur ou une catégorie.
• Fréquence : proportion de l’effectif par rapport au total, souvent exprimée en pourcentage.

$$\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}} \times 100\%$$

2. Tableau de données

Un tableau regroupe les valeurs, leurs effectifs et fréquences.

1. Moyenne

• Somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs.
• Formule :

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$

• Sensible aux valeurs extrêmes.

2. Médiane

• Valeur qui partage la série en deux parties égales : 50% des données sont inférieures, 50% supérieures.
• Ne dépend pas des valeurs extrêmes.
• Calcul détaillé expliqué dans la section suivante.

3. Mode

• Valeur la plus fréquente dans la série.
• Peut y avoir plusieurs modes ou aucun.

1. Étapes pour calculer la médiane

1. Classer les données dans l’ordre croissant.
2. Déterminer le nombre total de données $n$.
3. Cas selon la parité de $n$ :
   • Si $n$ est impair : la médiane est la valeur située à la position $\frac{n+1}{2}$.
   • Si $n$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs situées aux positions $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2} + 1$.

2. Exemple 1 : $n$ impair

Données : 3, 7, 8, 12, 15 (classées)

• $n=5$ (impair)
• Position médiane : $\frac{5+1}{2} = 3$
• Médiane = 3ᵉ valeur = 8

3. Exemple 2 : $n$ pair

Données : 4, 6, 8, 10 (classées)

• $n=4$ (pair)
• Positions médianes : 2 et 3
• Médiane = $\frac{6 + 8}{2} = 7$

1. Histogramme

• Représente la répartition des données quantitatives par classes.
• Hauteur des barres proportionnelle à l’effectif ou à la fréquence.

2. Diagramme en bâtons

• Pour données discrètes, chaque valeur a une barre verticale.

3. Diagramme circulaire (camembert)

• Représente les fréquences en pourcentage sous forme de secteurs.

4. Boîte à moustaches (boxplot)

• Visualise la médiane, les quartiles, et les valeurs extrêmes.