Trigonométrie

1. Cercle trigonométrique

• Le cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ est un cercle de rayon 1.
• Le sens de parcours positif (ou sens direct) est le sens contraire des aiguilles d’une montre.
• Le point $A$ est un point de référence sur $\mathcal{C}$, associé à l’angle $0$.

2. Mesure d’un angle en radians

• On considère une droite graduée $(t't)$ d’origine $A$, tangente en $A$ au cercle $\mathcal{C}$.
• L’unité de longueur sur $(t't)$ est 1, égale au rayon du cercle.
• En « enroulant » $(t't)$ sur $\mathcal{C}$, un réel $x$ correspond à un point $M$ sur $\mathcal{C}$.
• Le nombre $x$ est une mesure en radians de l’arc $\widehat{AM}$ parcouru dans le sens trigonométrique.

3. Définitions du sinus et du cosinus

Dans le repère orthonormé $(O, A, B)$ où $O$ est le centre de $\mathcal{C}$ :

• Le cosinus de $x$, noté $\cos x$, est l’abscisse du point $M$.
• Le sinus de $x$, noté $\sin x$, est l’ordonnée du point $M$.

4. Remarques importantes

Le sinus et le cosinus d’un réel $x$ sont les coordonnées du point obtenu en parcourant l’arc de longueur $x$ sur le cercle trigonométrique dans le sens trigonométrique.

1. Le radian

• Définition : La mesure en radians d’un angle au centre est égale à la longueur de l’arc intercepté sur un cercle de rayon 1.
• Pour un arc de longueur $x$ avec $0 \leq x \leq \pi$, l’angle au centre correspondant mesure $x$ radians.
• Relation fondamentale :
  $\pi \text{ radians} = 180^\circ$

2. Conversion entre degrés et radians

Les mesures en radians et en degrés sont proportionnelles. Si $x$ est la mesure en radians et $\alpha$ la mesure en degrés, alors :

$$\frac{180}{\pi} = \frac{\alpha}{x} \quad \Longrightarrow \quad \alpha = \frac{180}{\pi} \times x$$

• Formules de conversion :
  • De radians vers degrés :
    $\alpha = \frac{180}{\pi} \times x$
  • De degrés vers radians :
    $x = \frac{\pi}{180} \times \alpha$

Exemple :
Si $x = \frac{\pi}{6}$ radians, alors
$\alpha = \frac{180}{\pi} \times \frac{\pi}{6} = 30^\circ$

3. Mesure d’angles sur le cercle trigonométrique

• Un point $M$ sur le cercle trigonométrique est associé à un angle de mesure $x$ radians.
• Ce même point est aussi associé à tous les angles de mesure :
  $x + k \times 2\pi$
  où $k$ est un entier relatif (positif, négatif ou nul).
• Par exemple :
  • Le point $A$ correspond aux angles $0 + k \times 2\pi$ (ex. $0$, $2\pi$, $-2\pi$, $4\pi$, …).
  • Le point $B$ correspond aux angles $\frac{\pi}{2} + k \times 2\pi$.

À retenir : La mesure en radians d’un angle est la longueur de l’arc intercepté sur un cercle de rayon 1, et les angles associés à un même point sur le cercle trigonométrique diffèrent de multiples entiers de $2\pi$.

1. Valeurs particulières en trigonométrie

Deux angles $x$ et $x'$ sont associés au même point du cercle trigonométrique si et seulement si :

$$x - x' = k \times 2\pi \quad \text{avec } k \in \mathbb{Z}$$

Cela signifie que les angles diffèrent d'un multiple entier de $2\pi$ radians (un tour complet).

2. Formules trigonométriques fondamentales

Ces formules permettent de simplifier ou transformer des expressions trigonométriques.

3. Astuce pour les valeurs particulières

• Les valeurs de $\sin x$ et $\cos x$ sont périodiques de période $2\pi$.
• Connaître les valeurs aux angles clés (0, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$) permet de retrouver facilement celles des angles associés par addition ou soustraction de $2\pi$.
• Les angles négatifs ou supérieurs à $2\pi$ peuvent être ramenés dans l'intervalle $[0, 2\pi)$ en ajoutant ou soustrayant des multiples de $2\pi$.

Deux angles associés ont les mêmes valeurs de $\sin$ et $\cos$.

1. Formules trigonométriques fondamentales

Pour tout réel $x$ :

• Identité fondamentale :
  $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
• Bornes du cosinus et du sinus :
  $-1 \leq \cos x \leq 1 \quad \text{et} \quad -1 \leq \sin x \leq 1$

2. Placer un point sur le cercle trigonométrique

Soit $x \in \mathbb{R}$ un angle exprimé en radians.

a) Étape 1 : Réduction de l’angle dans l’intervalle $(-\pi, \pi]$

On cherche $x'$ tel que :

• $-\pi < x' \leq \pi$
• $x - x' = k \times 2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$

Cela revient à ramener l’angle $x$ dans un intervalle de longueur $2\pi$ centré autour de zéro.

Exemples :

b) Étape 2 : Construction du point $M$ sur le cercle trigonométrique

• Si $x' \geq 0$ :

  • On calcule la mesure en degrés $\alpha$ de $x'$.
  • Le point $M$ est placé sur le cercle trigonométrique tel que l’angle $\widehat{AOM} = \alpha$ dans le sens direct (sens anti-horaire).

• Si $x' < 0$ :

  • On pose $x'_1 = -x' > 0$.
  • On calcule $\alpha$ la mesure en degrés de $x'_1$.
  • Le point $M$ est placé sur le cercle trigonométrique tel que l’angle $\widehat{AOM} = \alpha$ dans le sens indirect (sens horaire).

À retenir : Pour placer un point sur le cercle trigonométrique à partir d’un angle $x$, on ramène d’abord $x$ dans $(-\pi, \pi]$, puis on place le point selon le signe de cet angle réduit, en respectant le sens direct ou indirect.

1. Fonction cosinus

• La fonction cosinus, notée $\cos$, associe à tout réel $x$ son cosinus.
• Elle est paire : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos(-x) = \cos x$.
• Elle est périodique de période $2\pi$ : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.
• La plus petite période positive est donc $2\pi$.
• Pour étudier la fonction cosinus, il suffit de se restreindre à un intervalle de longueur $2\pi$.
• De plus, comme $\cos$ est paire, son étude peut se limiter à l’intervalle $[0 ; \pi]$.

La fonction cosinus est paire et périodique de période $2\pi$, son étude peut donc se faire sur $[0 ; \pi]$.

1. Fonction sinus : propriétés essentielles

• Période : La fonction sinus est périodique de période $2\pi$, c’est-à-dire que pour tout réel $x$ et tout entier relatif $k$,

  $$\sin(x + 2k\pi) = \sin x.$$

• Parité : La fonction sinus est impaire, donc pour tout réel $x$,

  $$\sin(-x) = -\sin x.$$

2. Étude de la fonction sinus sur un intervalle fondamental

• Pour étudier la fonction sinus, il suffit de se restreindre à l’intervalle $[0 ; \pi]$ grâce à sa périodicité et sa parité.
• Sur $[0 ; \pi]$, la fonction sinus est croissante, passant de $\sin 0 = 0$ à $\sin \pi = 0$ en atteignant son maximum $\sin \frac{\pi}{2} = 1$.

3. Construction de la courbe représentative

• La courbe de $\sin x$ est tracée sur $[0 ; \pi]$ dans un repère orthogonal $(O; \vec{i}, \vec{j})$.
• Elle est complétée par symétrie par rapport à l’origine (car la fonction est impaire) pour obtenir la courbe sur $[-\pi ; \pi]$.
• Ensuite, la courbe est prolongée sur $\mathbb{R}$ par translations horizontales de vecteur $2k\pi \vec{i}$, où $k \in \mathbb{Z}$, en raison de la périodicité.

La fonction sinus est impaire et périodique de période $2\pi$, ce qui permet de construire sa courbe sur $\mathbb{R}$ à partir de son étude sur $[0 ; \pi]$.