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Définition et représentation graphique d'une série statistique à deux variables

1. Série statistique à deux variables

• Définition : Une série statistique à deux variables est un ensemble de couples $(x_i ; y_i)$ où $x_i$ et $y_i$ sont des variables quantitatives mesurées simultanément.

2. Représentation graphique

• Le nuage de points est la représentation graphique d'une série statistique à deux variables.
• Chaque point du nuage a pour coordonnées $(x_i ; y_i)$.
• Ce nuage permet de visualiser la relation entre les deux variables.

Introduction aux statistiques

Les statistiques sont une branche des mathématiques qui étudie la collecte, l'organisation, l'analyse et l'interprétation des données. Elles permettent de décrire un phénomène à partir d'un échantillon et d'en tirer des conclusions sur une population.

Les données statistiques

1. Types de données

Type de données	Description	Exemples

Statistiques à 2 variables

• Tableau de données : colonne A = variable 1, colonne B = variable 2 (ex. sur GeoGebra)
• Modèle d'ajustement affine : droite qui approxime la relation entre les deux variables
• Coefficient de détermination $R^2$ : mesure la qualité de l'ajustement, proche de 1 signifie un bon ajustement
• Répondre à la problématique : interpréter $R^2$ et la droite d'ajustement pour valider ou non une hypothèse

Suites arithmétiques

• Suite arithmétique : suite $(u_n)$ telle que $u_{n+1} = u_n + r$ avec raison $r$ constante

I. Probabilité

A) 📊 Définition de la probabilité

• La probabilité est une mesure de la certitude qu'un événement se produise.
• Elle est comprise entre 0 et 1, où 0 signifie que l'événement ne se produira jamais et 1 signifie qu'il se produira certainement.

B) 🎲 Événements

• Événement certain : Un événement qui se produit toujours (probabilité = 1).
• Événement impossible : Un événement qui ne se produit jamais (probabilité = 0).
• Événements complémentaires : Deux événements qui ne peuvent pas se produire en même temps.

Résultats

Idée : on veut résumer une série numérique avec un nombre limité de valeurs caractéristiques : moyenne, médiane, étendue, etc.

1) PARAMÈTRES DE POSITION

• moyenne : on ajoute toutes les valeurs de la série et on divise par l’effectif total.
• médiane : c’est la valeur du milieu, elle sépare la série rangée en deux séries de même effectif.
• quartile : on coupe la série en 4.
  Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série rangée telle que trois quarts des valeurs lui soient inférieures.
  Idem comme les quartiles mais on coupe en 10.

Vocabulaire

1) 📝 Définition

• La population est l'ensemble des éléments sur lesquels porte l'observation.
• Les individus sont les éléments de la population.
• Un échantillon d'une population est une partie représentative de la population sur laquelle porte l'observation.
• L'effectif de l'échantillon est le nombre d'individus de cet échantillon.

2) 📝 Exemple 1

On souhaite établir le degré d'addictions des jeunes belges de 16 ans aux smartphones. Pour cela, on interroge 50 jeunes de 16 ans sur le nombre d'heures passés sur leur smartphone.

Opérations sur les variables aléatoires

1. Opérations sur les variables aléatoires

a) Sommes et produits par un réel

• Définition : Pour une variable aléatoire réelle $X$, et $a,b \in \mathbb{R}$, la variable $Y = aX + b$ est définie par $Y(\omega) = a \times X(\omega) + b$.
• Loi de $Y$ : Pour tout $k \in \mathbb{R}$, $$ P(Y = k) = P\left(X = \frac{k - b}{a}\right). $$

b) Variables aléatoires indépendantes

• Définition : Les variables $X_1, X_2, ..., X_n$ sont indépendantes si, pour tous $x_1, ..., x_n$,

Succession d'épreuves indépendantes

1. Succession d’épreuves indépendantes

Une succession d’épreuves indépendantes signifie que le résultat d’une épreuve n’influence pas celui des autres.

2. Probabilités dans une succession d’épreuves indépendantes

• Si $A_1, A_2, \dots, A_n$ sont des événements issus d’épreuves indépendantes, alors :

$$ P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \times P(A_2) \times \cdots \times P(A_n) $$

• Pour un événement $A$ défini sur une épreuve, la probabilité de ne pas obtenir $A$ est $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

Statistiques : Moyenne et Médiane

1. Introduction aux statistiques descriptives

Les statistiques descriptives permettent de résumer et d'analyser un ensemble de données. Deux mesures centrales sont la moyenne et la médiane, qui caractérisent la tendance centrale d'une série statistique.

La Moyenne

1. Définition

La moyenne d'une série statistique est la valeur qui représente le centre de gravité des données. Elle correspond à la somme des valeurs divisée par le nombre total d'observations.

2. Calcul de la moyenne